Как определить счастливый билет в троллейбусе. Загадываем желание на счастливый билет

Одним из классических примеров использования производящих функций является задача о счастливых билетах.

Троллейбусный (трамвайный) билет имеет номер, состоящий из шести цифр. Билет считается счастливым, если сумма первых трёх цифр равна сумме последних трёх, например, 024321. Первая цифра номера билета может быть нулём. Известно, что количество счастливых билетов из шести цифр равно 55252. Но как это число было получено? Вообще, как решать более сложную задачу: для любого положительного целого n указать количество 2n -значных счастливых билетов?

Здесь будут рассмотрены некоторые известные методы решения данной задачи. Количество счастливых билетов из 2n цифр будем обозначать символом L n .

Метод динамического программирования

Введём обозначение: — количество n -значных чисел с суммой цифр, равной k (число может начинаться с цифры 0). Понятно, что любой билет состоит из двух частей: левой (n цифр) и правой (тоже n цифр), причём в обеих частях сумма цифр одинакова. Количество счастливых билетов с суммой k в одной из частей, очевидно, равно . Значит общее количество 2n -значных счастливых билетов равно

Верхний индекс суммирования равен 9n , так как максимальная сумма цифр в одной части билета равна 9n .

Теперь осталось найти все значения . Количество n -значных чисел с суммой цифр k можно выразить через количество (n-1) -значных чисел, добавляя к ним n -ю цифру, которая может быть равна 0, 1, ..., 9:

Здесь неявно предполагается, что для n≥0 . Положим по определению .

Вычисление значений по указанной формуле лучше представить с помощью таблицы:

Любое число в этой таблице (кроме ) получается если просуммировать 10 элементов, стоящих слева и сверху от него. Например, в таблице красным цветом выделено число 73, а серым — числа, сумме которых оно равно. Само это число 73 означает, что именно столько существует трёхзначных чисел с суммой цифр 12.

Теперь нужно просуммировать квадраты чисел, стоящих в столбце n=3 : 1 2 +3 2 +6 2 +⋅⋅⋅=55252 . Если нужно было бы подсчитать восьмизначные билеты, то потребовалось бы вычислять столбец n=4 до значения k=36 .

Метод производящих функций

Билет состоит из двух частей. Рассмотрим произвольный счастливый билет, скажем, 271334 и заменим цифры второй его части на величину, которой им не хватает до 9. То есть 271665 . Теперь сумма всех цифр билета равна 27. Легко заметить, что такой фокус проходит с любым счастливым билетом. Таким образом, количество счастливых билетов из 2n цифр равно количеству 2n -значных чисел с суммой цифр, равной 9n . То есть

Теперь можно было бы воспользоваться техникой предыдущего пункта и найти число, стоящее в столбце n=6 и в строке k=27 . Получилось бы в точности 55252 . Но здесь можно воспользоваться техникой производящих функций.

Выпишем производящую функцию G(z) , коэффициент при z k у которой будет равен :

Действительно, однозначное число с суммой цифр k (для k=0,...,9 ) можно представить одним способом. Для k>9 — ноль способов.

Заметим, что если возвести функцию G в квадрат, то коэффициент при z k будет равен числу способов получить сумму k с помощью двух цифр от 0 до 9:

В общем случае, G n (z) — это производящая функция для чисел , поскольку коэффициент при z k получается перебором всех возможных комбинаций из n цифр от 0 до 9, равных в сумме k . Перепишем производящую функцию в ином виде:

В итоге, нам требуется отыскать

Для этого посмотрим, что будет получаться, если раскрывать скобки в следующем выражении (нас интересует только коэффициенты при z 27 ):

Таким образом,

Решение путём интегрирования

Внимание, данный раздел предназначен для тех, кто знаком с курсом ТФКП.

Воспользуемся производящей функцией G(z) из предыдущего раздела:

Составим ряд Лорана следующим образом:

Значение a 0 в данном разложении будет в точности равно [ проверьте ]

Интегральная теорема Коши говорит, что

А, м. billet m.,> нем. Billett.1. Бумага с официальным распоряжением, приказом. Сл. 18. Кардинал и штатскии секретарь Леркари велел на сих днях господину Риццу.. билет вручить, в котором он ему объявляет, чтобы он без замедления дороги… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

На самолёт Туркменских Авиалиний Билет (фр. billet, от средневекового billetus записка, письмо, свидетельство; удостоверение … Википедия

Сущ., м., употр. часто Морфология: (нет) чего? билета, чему? билету, (вижу) что? билет, чем? билетом, о чём? о билете; мн. что? билеты; (нет) чего? билетов, чему? билетам, (вижу) что? билеты, чем? билетами, о чём? о билетах 1. Билет это документ… … Толковый словарь Дмитриева

Прил., употр. очень часто Морфология: счастлив и счастлив, счастлива и счастлива, счастливо и счастливо, счастливы и счастливы; счастливее; нар. счастливо, счастливо 1. Счастливым называют того, кто испытывает большую радость, счастье, потому что … Толковый словарь Дмитриева

Билет The Ticket Жанр драма Режиссёр … Википедия

It Could Happen To You Жанр комедия Режиссёр Эндрю Бергман В главных ролях Николас Кэйдж Бриджит Фонда … Википедия

БИЛЕТ, а, муж. 1. Документ, удостоверяющий право пользования чем н. разовый или на определённый срок. Железнодорожный б. Сезонный, месячный б. (для проезда на сезон, на месяц). Единый проездной б. (для проезда на разных видах городского… … Толковый словарь Ожегова

СЧАСТЛИВЫЙ, ая, ое; счастлив и счастлив. 1. Полный счастья, такой, к рому благоприятствует удача, успех; выражающий счастье. Счастливая жизнь. Счастливое детство. Если хочешь быть счастливым, будь им (шутл.). Счастлив, как дитя. Счастливое лицо.… … Толковый словарь Ожегова

счастливый - I см. счастливый; ого; м. II ая, ое; сча/стлив, а, о. см. тж. счастливый, счастливая, счастливые, счастливо, счастливо 1) чем, с инф., с придат. дополнит. Такой, который испы … Словарь многих выражений

А; м. [франц. billet] 1. Документ, удостоверяющий право пользования чем л., посещения чего л., участия в чём л. Трамвайный, троллейбусный, железнодорожный б. Месячный, проездной б. (такой документ многоразового пользования для проезда в… … Энциклопедический словарь

Книги

• Счастливый билет (комплект из 2 книг) , Елена Давыдова-Харвуд, Олга Бакушинская, Эдуард Шатов. Вашему вниманию предлагается комплект из двух книг серии СЧАСТЛИВЫЙ БИЛЕТ…
• Счастливый билет. На день рождения , Леон Малин. Сюжет рассказа прост. Приятель подарил главному герою на день рождения лотерейный билет. Тут же выяснилось, что билет выиграл 30 миллионов рублей. События начинаютразвиваться стремительно.…

В разделе на вопрос Как определить счастливый билет или нет и нужно ли есть счастливые билеты? заданный автором Евровидение лучший ответ это больше билетов -большое счастье

Ответ от Алёнка [гуру]
как можно есть билет, который до этого трогала своими грязными руками кондукторша

Ответ от Просодия [активный]
Если сумма первых трёх цифр равна сумме вторых трёх, то билет счастливый. А есть не надо=(

Ответ от упросить [гуру]
Уже не нужно.

Ответ от Анна Петрукович [новичек]
Там же 7 цифр! Какие складывать?
допустим там 5072937
значит мы складываем 5 0и7 получаем12 это первые 3 числа
вторые 3 числа которые складываем 2 9и3 получаем14
а что делать с семеркою?!

Ответ от Виктория фидотова [новичек]
Я не советую тебе есть билет потому что его трогал кондуктор, а у него руки не стерильные! Если первые три цифры совпадают со вторыми то это счастливый билет. Чтобы стать счастливым просто носи его с собой.

Ответ от Ирина Чикинева [новичек]
Недостаточно просто найти билет с нужной комбинацией цифр для того, чтобы стать счастливым. Согласно поверью, такой талон необходимо хранить и всюду носить при себе – в кошельке или кармашке сумки. Если ты не желаешь собирать бесполезные вещи, существует еще один вариант. Счастливый талон нужно съесть. И тогда тебе непременно повезет))

Всем привет! Нас зовут Антон и Маша! Добро пожаловать в друзья! Мы студенты из Санкт-Петербурга =) Нас часто спрашивают,…

Здравствуй, 2019-й! О семье, доброте и новогоднем обращении Владимира Путина

Вот и наступил 2019 год. Для меня он был очень долгожданным, ведь прошлый заставил пережить очень много всего неприятного в личном плане. Но никогда…

Атаки на критическую инфраструктуру: США и ЕС нападают на Россию в киберпространстве

США, ЕС и НАТО продолжают проверять крепость российских киберрубежей. Западные структуры каждый день совершают атаки на…

Либералы из «Новой газеты»: «Продадимся за западные гранты. Дорого»

Если вы думаете, что либеральные СМИ зарабатывают преимущественно на рекламе, то ошибаетесь. Исходя из опыта «Новой газеты», их главный доход – это…

Владимир Путин о контроле, поддержке и участии. Подробности о съезде ОНФ

Сегодня российский президент выступил на съезде движения Общероссийского народного фронта (ОНФ), созданного в 2011 году по предложению самого…

За что Facebook заблочил аккаунты девочки-инвалида?

Продолжаю интересоваться историями о том, как Facebook нарушает права пользователей, и убеждаться в том, что верно сделала, перестав пользоваться…

Сомнительный рейтинг СМИ от сервиса «Яндекс. Радар». Яндекс хочет испортить себе репутацию?

Не то, чтобы я часто пользовалась Facebook, но было крайне неприятно обнаружить, что мой аккаунт забанили. С одной стороны, в общем, и черт бы с…

О том, что такое "счастливый билет" - прекрасно знают большинство студентов. Да и школьники частенько тоже. Правда, какие именно они бывают и что с ними делать - здесь мнения чаще всего расходятся.

Прежде всего, "счастливым по-студенчески" считается билет, ответы на который ты знаешь. Тут даже и к бабке не ходи - повезло тебе на экзамене, вытянул счастливый билет и сдал с первого раза, хоть из ста вопросов только эти два и выучить-то успел. Да так бойко отвечал, что уставший от "бе-каний и ме-каний" преподаватель даже слушать тебя до конца не стал - отправил с пятёркой в зачётке и с наставлениями остающимся: "Вот! Смотрите и учитесь, как надо сдавать предмет! Берите пример с этого хорошего человека!"
Вот это я понимаю, - "счастливый билет" !

Но бывают билеты, они же - талоны на проезд, которые считаются либо счастливыми, либо красивыми. Второе - крайне редко. Чаще всего их называют именно "счастливый"! Какие же билеты считаются таковыми?
Во-первых, и это крайне-редкий случай, счастливым считается билет, цифры номера которого одинаковы или расположены симметрично.
Например: 555555 или 252252 . Тут полная симметрия.
Но бывает симметрия неполная или зеркальная. Например так: 251251 - числа здесь расположены симметрично, а вот цифры - нет.
В любом случае, вышеприведённые примеры - это действительно "счастливые" билеты. Много ли их встречается? Ну, думаю, вы без труда сосчитаете, что очень и очень мало - тысяча на миллион, или каждый тысячный билет. Вероятность попадания такого билета в руки пассажира крайне мала. Мне за мою жизнь пока что выпало всего два таких билетика, хоть езжу в общественном транспорте я довольно часто,
А счастья-то хочется? Поэтому, изворотливыми и догадливыми пассажирами в скуке пути тут же были придуманы другие варианты "счастья". Например, просто одинаковые цифры в номере, расположенные в произвольном порядке: 251521 , например. Симметрии здесь и нет, но зато все цифры присутствуют. Дальше - больше. Счастливым стал считаться билетик, сумма троек цифр которых одинакова. Например, 474195:

4+7+4=15= 1+9+5

1. Примеры билетов, "счастливых по сумме" :

Опять же всем известно, что подобные билеты встречаются хоть и не каждый день, но всё-таки довольно часто. Примерно каждый 18-й билет - "счастливый по сумме". И если ездить постоянно, то встречаются они хотя бы раз в неделю. Как-то я провёл небольшой эксперимент: не выкидывал, а складывал эти билетики в карман сумки, чтобы сосчитать в конце месяца. Давно это было, не помню уже сколько точно, но в месяц у меня их тогда собралось не менее десяти штук. Учитывая, что муниципальным транспортом я езжу в среднем два-три раза в день (остальное время - маршрутки, а там у нас билетов почему-то выдавать не принято), получается, что каждая 6-9 поездка "вознаграждается" вот таким вот нехитрым счастьем. Ну, или один билетик в три дня. Но это, видать, у меня просто удачный месяц попался, потому что каждый 18-й билет должен попадаться как бы пореже.
И действительно, бывают времена, когда за месяц и ни одного не попадётся. Так что же делать? А голь на выдумки хитра. Например, есть билеты, "счастливые по-московски" (они же - "по-ленинградски" ) - это когда считаются не тройки цифр, а их пары. Например, сумма каждого чётного числа с нечётными: 63 49 86 . Здесь:

3+9+6= 18= 6+4+8

А как вы думаете, можно ли помимо сложения, применять операцию вычитания ? Конечно же можно! Главное, определиться для себя, как вычитать - по порядку или от большего к меньшему: 720821 . Здесь:

7-2-0=5= 8-2-1

Но... не принято у нас как-то "вычитать счастье". Лучше, когда его прибавляют или даже умножают!

Поэтому я придумал для себя ещё один вид счастливых билетов: "счастливый по умножению"!
Достаточно перемножить цифры в тройках, чтобы получить себе дополнительный "умножительный" заряд бодрости. Например: 338924. Здесь:

3*3*8=72= 9*2*4

Пользуйтесь на здоровье! А то что же вы всё суммируете да суммируете... Умножать тоже можно!

Upd: Более того, можно не просто умножать! Вот, в комментариях docbrowns заметил, что можно ещё и в степень возводить! Например 261812 :

(2^6)^1 = 64 = (8^1)^2

А это ещё во много раз увеличивает как шансы "найти счастье", так и занимательность поездки.

2. Пример билета, "счастливого по умножению" а-ля :

Если вы пользуетесь общественным транспортом, присмотритесь внимательней к пассажирам. Очень, очень часто можно заметить, как при получении билетика они начинают изучать его цифры. Каждый ищет счастья... А что же потом с ним делать? Один раз я услышал разговор двух девчонок, ехавших на зачёт: "Ух-ты! У меня счастливый билетик!" - воскликнула одна. "Съешь его! Зачёт тогда сдашь!!!" - тут же отозвалась вторая. Право, я смеялся. Уж лучше они надеялись на тот счастливый "по-студенчески" билет, который я упомянул вначале. А ещё лучше - чтобы все полсотни билетов курса были для них счастливыми. Но... они предпочитают съесть троллейбусный, чем учить лекционные.
Ребята! Не надо есть талончики! Это совсем даже не полезно. И счастья вам не принесёт. Относитесь к счастливым билетам проще - раз он вам выпал , значит счастье не придёт, нет - вы уже счастливый или, проще, везучий человек! Вот и всё. Это всего лишь повод слегка улучшить себе настроение. Не верьте в приметы - они далеко не всегда основаны на фактах, а часто ещё и вред могут принести, особенно если начнёте есть четырёхлистные цветочки с земли или бумажные талончики из вторсырья да в автобусе! Как в том анекдоте: съел счастливый билет, и тут же счастье привалило - контролёр зашёл!

Относитесь к "счастливым билетам" как к способу слегка скоротать время поездки арифметическими упражнениями, и как к дополнительному поводу порадоваться в ней.

Кстати, папам и мамам на заметку: очень полезно рассказать о подобных упражнениях детям. Они в школе не очень любят устный счёт, так пусть хоть в троллейбусах развлекаются, суммируя или умножая цифры. Да и взрослым не повредит: как подряд, так и через одно, усваивая понятия чётность, симметрия, кратность... Да и о вычитании с делением тоже можно не забывать. В любом случае, для развития ребёнка такие весёлые задачки не повредят.

А если с билетиком вам не повезло - не расстраивайтесь! По улице ездит столько автомобилей со "счастливыми номерами"!

Удачи вам, и счастья!