Теория автоматического регулирования для начинающих. Конспект лекций по тау

Теория автоматического управления (ТАУ) - научная дисциплина, изучающая процессы автоматического управления объектами разной физической природы. При этом при помощи математических средств выявляются свойства систем автоматического управления и разрабатываются рекомендации по их проектированию.

История

Впервые сведения об автоматах появились в начале нашей эры в работах Герона Александрийского «Пневматика» и «Механика», где описаны автоматы, созданные самим Героном и его учителем Ктесибием: пневмоавтомат для открытия дверей храма, водяной орган, автомат для продажи святой воды и др. Идеи Герона значительно опередили свой век и не нашли применения в его эпоху.

Устойчивость линейных систем

Устойчивость - свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения.

Устойчивая САУ - система, в которой переходные процессы являются затухающими.

Операторная форма записи линеаризированного уравнения.

y(t) = y уст (t)+y п = y вын (t)+y св

y уст (y вын ) - частное решение линеаризированного уравнения.

y п (y св ) - общее решение линеаризированного уравнения как однородного дифференциального уравнения, то есть

САУ устойчива, если переходные процессы у n (t), вызываемые любыми возмущениями, будут затухающими с течением времени, то есть при

Решая дифференциальное уравнение в общем случае, получим комплексные корни p i , p i+1 = ±α i ± jβ i

Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует следующая составляющая уравнения переходного процесса:

Из полученных результатов видно, что:

Критерии устойчивости

Критерий Рауса

Для определения устойчивости системы строятся таблицы вида:

Коэффициенты Строки столбец 1 столбец 2 столбец 3
1
2
3
4

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы - система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительны, то система на границе устойчивости.

Критерий Гурвица

Определитель Гурвица

Теорема : Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его миноры были положительны при

Критерий Михайлова

Заменим , где ω - угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.

Критерий : для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, построенная в координатах , проходила последовательно через n квадрантов.

Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней (α>0 и β>0)

1) Корень характеристического уравнения - отрицательное вещественное число

2) Корень характеристического уравнения - положительное вещественное число

Соответствующий данному корню сомножитель

3) Корень характеристического уравнения - комплексная пара чисел с отрицательной вещественной частью

Соответствующий данному корню сомножитель

4) Корень характеристического уравнения - комплексная пара чисел с положительной вещественной частью

Соответствующий данному корню сомножитель

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста - это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.

Пусть разомкнутая система представлена в виде полинома

тогда сделаем подстановку и получим:

Для более удобного построения годографа при n>2 приведём уравнение (*) к «стандартному» виду:

При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) - разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент - сумме аргументов.

Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции

Сомножитель
k k 0
p ω

После чего построим годограф для вспомогательной функции , для чего будем изменять

При , а при (так как n

Для определения результирующего угла поворота найдём разность аргументов числителя и знаменателя

Полином числителя вспомогательной функции имеет ту же степень, что и полином её знаменателя, откуда следует , следовательно, результирующий угол поворота вспомогательной функции равен 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции , соответственно, точку с координатами

Часть 1. Теория Автоматического Управления (ТАУ)

Лекция 1. Основные термины и определения ТАУ. (2 часа)

Основные понятия.

Системы управления современными химико-технологическими процессами характеризуются большим количеством технологических параметров, число которых может достигать нескольких тысяч. Для поддержания требуемого режима работы, а в конечном итоге – качества выпускаемой продукции, все эти величины необходимо поддерживать постоянными или изменять по определенному закону.

Физические величины, определяющие ход технологического процесса, называются параметрами технологического процесса . Например, параметрами технологического процесса могут быть: температура, давление, расход, напряжение и т.д.

Параметр технологического процесса, который необходимо поддерживать постоянным или изменять по определенному закону, называется регулируемой величиной или регулируемым параметром .

Значение регулируемой величины в рассматриваемый момент времени называется мгновенным значением .

Значение регулируемой величины, полученное в рассматриваемый момент времени на основании данных некоторого измерительного прибора называется ее измеренным значением .

Пример 1. Схема ручного регулирования температуры сушильного шкафа.


Требуется вручную поддерживать температуру в сушильном шкафу на уровне Т зад.

Человек-оператор в зависимости от показаний ртутного термометра РТ включает или выключает нагревательный элемент Н с помощью рубильника Р. ¨

На основе данного примера можно ввести определения:

Объект управления (объект регулирования, ОУ) – устройство, требуемый режим работы которого должен поддерживаться извне специально организованными управляющими воздействиями.



Управление – формирование управляющих воздействий, обеспечивающих требуемый режим работы ОУ.

Регулирование – частный вид управления, когда задачей является обеспечение постоянства какой-либо выходной величины ОУ.

Автоматическое управление – управление, осуществляемое без непосредственного участия человека.

Входное воздействие (Х) – воздействие, подаваемое на вход системы или устройства.

Выходное воздействие (Y) – воздействие, выдаваемое на выходе системы или устройства.

Внешнее воздействие – воздействие внешней среды на систему.

Структурная схема системы регулирования к примеру 1 изображена на рис. 1.2.


Рис. 1.3

Пример 3. Схема АСР температуры с измерительным мостом.

При температуре объекта, равной заданной, измерительный мост М (см. рис. 1.4) уравновешен, на вход электронного усилителя ЭУ сигнал не поступает и система находится в равновесии. При отклонении температуры изменяется сопротивление терморезистора R Т и равновесие моста нарушается. На входе ЭУ появляется напряжение, фаза которого зависит от знака отклонения температуры от заданной. Напряжение, усиленное в ЭУ, поступает на двигатель Д, который перемещает движок автотрансформатора АТ в соответствующую сторону. При достижении температуры, равной заданной, мост сбалансируется и двигатель отключится.


Определения:

Задающее воздействие (то же, что входное воздействие Х) - воздействие на систему, определяющее требуемый закон изменения регулируемой величины).

Управляющее воздействие (u) - воздействие управляющего устройства на объект управления.

Управляющее устройство (УУ) - устройство, осуществляющее воздействие на объект управления с целью обеспечения требуемого режима работы.

Возмущающее воздействие (f) - воздействие, стремящееся нарушить требуемую функциональную связь между задающим воздействием и регулируемой величиной.

Ошибка управления (е = х - у) - разность между предписанным (х) и действительным (у) значениями регулируемой величины.

Регулятор (Р) - комплекс устройств, присоединяемых к регулируемому объекту и обеспечивающих автоматическое поддержание заданного значения его регулируемой величины или автоматическое изменение ее по определенному закону.

Автоматическая система регулирования (АСР) - автоматическая система с замкнутой цепью воздействия, в котором управление (u) вырабатывается в результате сравнения истинного значения у с заданным значением х.

Дополнительная связь в структурной схеме АСР, направленная от выхода к входу рассматриваемого участка цепи воздействий, называется обратной связью (ОС). Обратная связь может быть отрицательной или положительной.

Классификация АСР.

1. По назначению (по характеру изменения задания):

· стабилизирующая АСР - система, алгоритм функционирования которой содержит предписание поддерживать регулируемую величину на постоянном значении (x = const);

· программная АСР - система, алгоритм функционирования которой содержит предписание изменять регулируемую величину в соответствии с заранее заданной функцией (x изменяется программно);

· следящая АСР - система, алгоритм функционирования которой содержит предписание изменять регулируемую величину в зависимости от заранее неизвестной величины на входе АСР (x = var).

2. По количеству контуров:

· одноконтурные - содержащие один контур,

· многоконтурные - содержащие несколько контуров.

3. По числу регулируемых величин:

· одномерные - системы с 1 регулируемой величиной,

· многомерные - системы с несколькими регулируемыми величинами.

Многомерные АСР в свою очередь подразделяются на системы:

а) несвязанного регулирования, в которых регуляторы непосредственно не связаны и могут взаимодействовать только через общий для них объект управления;

б) связанного регулирования, в которых регуляторы различных параметров одного и того же технологического процесса связаны между собой вне объекта регулирования.

4. По функциональному назначению:

АСР температуры, давления, расхода, уровня, напряжения и т.д.

5. По характеру используемых для управления сигналов:

· непрерывные,

· дискретные (релейные, импульсные, цифровые).

6. По характеру математических соотношений:

· линейные, для которых справедлив принцип суперпозиции;

· нелинейные.

Принцип суперпозиции (наложения): Если на вход объекта подается несколько входных воздействий, то реакция объекта на сумму входных воздействий равна сумме реакций объекта на каждое воздействие в отдельности:


L(х 1 + х 2) = L(х 1) + L(х 2),

где L - линейная функция (интегрирование, дифференцирование и т.д.).

7. По виду используемой для регулирования энергии:

· пневматические,

· гидравлические,

· электрические,

· механические и др.

8. По принципу регулирования:

· по отклонению :

Подавляющее большинство систем построено по принципу обратной связи - регулирования по отклонению (см. рис. 1.7).

Элемент называется сумматором. Его выходной сигнал равен сумме входных сигналов. Зачерненный сектор говорит о том, что данный входной сигнал надо брать с противоположным знаком.

· по возмущению .

Данные системы могут быть использованы в том случае, если есть возможность измерения возмущающего воздействия (см. рис. 1.8). На схеме обозначен К - усилитель с коэффициентом усиления К.

· комбинированные - сочетают в себе особенности предыдущих АСР.

Данный способ (см. рис. 1.9) достигает высокого качества управления, однако его применение ограничено тем, что возмущающее воздействие f не всегда можно измерить.


Основные модели.

Работу системы регулирования можно описать словесно. Так, в п. 1.1 описана система регулирования температуры сушильного шкафа. Словесное описание помогает понять принцип действия системы, ее назначение, особенности функционирования и т.д. Однако, что самое главное, оно не дает количественных оценок качества регулирования, поэтому не пригодно для изучения характеристик систем и построения систем автоматизированного управления. Вместо него в ТАУ используются более точные математические методы описания свойств систем:

· статические характеристики,

· динамические характеристики,

· дифференциальные уравнения,

· передаточные функции,

· частотные характеристики.

В любой из этих моделей система может быть представлена в виде звена, имеющего входные воздействия Х, возмущения F и выходные воздействия Y

Под влиянием этих воздействий выходная величина может изменяться. При этом при поступлении на вход системы нового задания она должна обеспечить с заданной степенью точности новое значение регулируемой величины в установившемся режиме.

Установившийся режим - это режим, при котором расхождение между истинным значением регулируемой величины и ее заданным значением будет постоянным во времени.

Статические характеристики.

Статической характеристикой элемента называется зависимость установившихся значений выходной величины от значения величины на входе системы, т.е.

y уст = j(х).

Статическую характеристику (см. рис. 1.11) часто изображают графически в виде кривой у(х).

Статическим называется элемент, у которого при постоянном входном воздействии с течением времени устанавливается постоянная выходная величина. Например, при подаче на вход нагревателя различных значений напряжения он будет нагреваться до соответствующих этим напряжениям значений температуры.

Астатическим называется элемент, у которого при постоянном входном воздействии сигнал на выходе непрерывно растет с постоянной скоростью, ускорением и т.д.

Линейным статическим элементом называется безинерционный элемент, обладающий линейной статической характеристикой:

у уст = К*х + а 0 .

Как видно, статическая характеристика элемента в данном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона К.

Линейные статические характеристики, в отличие от нелинейных, более удобны для изучения благодаря своей простоте. Если модель объекта нелинейна, то обычно ее преобразуют к линейному виду путем линеаризации.

САУ называется статической , если при постоянном входном воздействии ошибка управления е стремится к постоянному значению, зависящему от величины воздействия.

САУ называется астатической , если при постоянном входном воздействии ошибка управления стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия.

Преобразования Лапласа.

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

, (2.1)

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

и , (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа , формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа , а полученное уравнение - операторным уравнением .

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов на операторы s n , знаков интегралов на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа . Общая формула обратного преобразования Лапласа:

, (2.3)

где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.

Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).

Таблица 1.2 - Преобразования Лапласа

Оригинал x(t) Изображение X(s)
d-функция
t
t 2
t n
e - a t
a . x(t) a . X(s)
x(t - a) X(s) . e - a s
s n. X(s)

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример . Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s 2 Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s 2 Y + 5sY + 6Y = 2s + 12 ,

Y(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2s + 12.

Определяется выражение для Y:

.

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

= = + + =

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

М 1 + М 2 + М 3 = 0 M 1 = 2

5 . М 1 + 3 . М 2 + 2 . М 3 = 2 à M 2 = -4

6 . М 1 = 12 M 3 = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

= - + .

Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4 . e -2 t + 2 . e -3 t . ¨

Передаточные функции.

Примеры типовых звеньев.

Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую основу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но относится к одной группе. Соотношение входных и выходных сигналов в звеньях одной группы описываются одинаковыми передаточными функциями.

Простейшие типовые звенья:

· усилительное,

· интегрирующее,

· дифференцирующее,

· апериодическое,

· колебательное,

· запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления .

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рис. 1.15).

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины.

; W(s) =

При подаче на вход звена воздействия выходной сигнал постоянно возрастает (см. рис. 1.16).

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид:

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 1.17).

Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора.

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (d-функцию).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям. Переходная характеристика и передаточная функция этого звена имеют вид:

4) Апериодическое (инерционное).

Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида:

; W(s) = .

Определим характер изменения выходной величины этого звена при подаче на вход ступенчатого воздействия величины х 0 .

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изображение выходной величины:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Разложим дробь на простые:

= + = = - = -

Оригинал первой дроби по таблице: L -1 { } = 1, второй:

Тогда окончательно получаем:

y(t) = K x 0 (1 - ).

Постоянная Т называется постоянной времени .

Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (см. рис. 1.19).

5) Колебательное звено имеет ДУ и ПФ вида

,

W(s) = .

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х 0 на переходная кривая будет

иметь один из двух видов: апериодический (при Т 1 ³ 2Т 2) или колебательный (при Т 1 < 2Т 2).

6) Запаздывающее.

y(t) = x(t - t), W(s) = e - t s .

Выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием t. Примеры: движение груза по конвейеру, движение жидкости по трубопроводу.

Соединения звеньев.

Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев:

1) Последовательное соединение.

W об = W 1 . W 2 . W 3 …

При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются.

2) Параллельное соединение.

W об = W 1 + W 2 + W 3 + …

При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются.

3) Обратная связь

Передаточная функция по заданию (х):

«+» соответствует отрицательной ОС,

«-» - положительной.

Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по формуле Мезона.

Передаточные функции АСР.

Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект - регулятор».

Это необходимо, во-первых, для того, чтобы определить математические зависимости в системе, и, во-вторых, как правило, все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применены для такой стандартной структуры.

В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду.

Если выход системы у не подавать на ее вход, то мы получим разомкнутую систему регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение:

W ¥ = W p . W y

(W p - ПФ регулятора, W y - ПФ объекта управления).

То есть последовательность звеньев W p и W y может быть заменена одним звеном с W ¥ . Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать как Ф(s). Она может быть выражена через W ¥ :

Данная передаточная функция Ф з (s) определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по заданию).

Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам:

Ф e (s) = = - по ошибке,

Ф в (s) = = - по возмущению.

Поскольку передаточная функция разомкнутой системы является в общем случае дробно-рациональной функцией вида W ¥ = , то передаточные функции замкнутой системы могут быть преобразованы:

Ф з (s) = = , Ф e (s) = = .

Как видно, эти передаточные функции отличаются только выражения ми числителей. Выражение знаменателя называется характеристическим выражением замкнутой системы и обозначается как D з (s) = A(s) + B(s), в то время как выражение, находящееся в числителе передаточной функции разомкнутой системы W ¥ , называется характеристическим выражением разомкнутой системы B(s).

Частотные характеристики.

Примеры ЛЧХ.

1. Фильтр низких частот (ФНЧ)

ЛАЧХ ЛФЧХ Пример цепи

Фильтр низких частот предназначен для подавления высокочастотных воздействий.

2. Фильтр высоких частот (ФВЧ)

ЛАЧХ ЛФЧХ Пример цепи

Фильтр высоких частот предназначен для подавления низкочастотных воздействий.

3. Заградительный фильтр.

Заградительный фильтр подавляет только определенный диапазон частот

ЛАЧХ и ЛФЧХ Пример цепи



Критерии устойчивости.

Устойчивость.

Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному закону. При отклонении регулируемого параметра от заданной величины (например, под действием возмущения или изменения задания) регулятор воздействует на систему таким образом, чтобы ликвидировать это отклонение. Если система в результате этого воздействия возвращается в исходное состояние или переходит в другое равновесное состояние, то такая система называется устойчивой . Если же возникают колебания со все возрастающей амплитудой или происходит монотонное увеличение ошибки е, то система называется неустойчивой .

Для того, чтобы определить, устойчива система или нет, используются критерии устойчивости:

1) корневой критерий,

2) критерий Стодолы,

3) критерий Гурвица,

4) критерий Найквиста,

5) критерий Михайлова и др.

Первые два критерия являются необходимыми критериями устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем. Критерий Гурвица является алгебраическим и разработан для определения устойчивости замкнутых систем без запаздывания. Последние два критерия относятся к группе частотных критериев, поскольку определяют устойчивость замкнутых систем по их частотным характеристикам. Их особенностью является возможность применения к замкнутым системам с запаздыванием, которыми является подавляющее большинство систем управления.

Корневой критерий.

Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.

Корни характеристического уравнения могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости (см. рис. 1.34).

(Символом обозначены корни уравнения).

Виды корней характеристического уравнения:

Действительные:

положительные (корень № 1);

отрицательные (2);

нулевые (3);

Комплексные

комплексные сопряженные (4);

чисто мнимые (5);

По кратности корни бывают:

одиночные (1, 2, 3);

сопряженные (4, 5): s i = a ± jw;

кратные (6) s i = s i +1 = …

Корневой критерий формулируется следующим образом:

Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

Пример 3.1. Передаточная функция системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение: s 3 + 2s 2 + 2.25s + 1.25 = 0.

Корни: s 1 = -1; s 2 = -0,5 + j; s 3 = -0,5 - j.

Следовательно, система устойчива. ¨

Критерий Стодолы.

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

То есть, для передаточная из примера 3.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид (см. рис.)

W p - передаточная функция регулятора,

W y - передаточная функция объекта управления.

Определим передаточную функцию для прямой связи (передаточную функцию разомкнутой системы, см. п. 2.6.4): W ¥ = W p W y .

.

Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

.

Тогда после подстановки и преобразования получаем:

.

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W ¥ :

D з (s) = A(s) + B(s).

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a n +1 по a 0 . Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a 0 , a 2 , a 4 … или a 1 , a 3 , a 5 …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

Для этого определяется ХПЗС:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а 4 = 2, а 3 = 5, а 2 = 10, а 1 = 6, а 0 = 1.

Матрица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

Δ 1 = 5 > 0,

,

Δ 4 = 1* Δ 3 = 1*209 > 0.

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива . ♦


Критерий Михайлова.

Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде

,

где t - запаздывание.

В этом случае характеристическое выражение замкнутой системы полиномом не является и его корни определить невозможно. Для определения устойчивости в данном случае используются частотные критерии Михайлова и Найквиста.

Порядок применения критерия Михайлова:

1) Записывается характеристическое выражение замкнутой системы:

D з (s) = A(s) + B(s) . e - t s .

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ «ЧАЙНИКОВ» КЮ Поляков Санкт-Петербург 8

2 КЮ Поляков, 8 «В ВУЗе нужно излагать материал на высоком профессиональном уровне Но поскольку этот уровень проходит значительно выше головы среднего студента, я буду объяснять на пальцах Это не очень профессионально, зато понятно» Неизвестный преподаватель Предисловие Эта методичка предназначена для первого знакомства с предметом Ее задача объяснить «на пальцах» основные понятия теории автоматического регулирования и сделать так, чтобы после ее прочтения вы смогли воспринимать профессиональную литературу на эту тему Нужно рассматривать это пособие только как фундамент, стартовую площадку для серьезного изучения серьезного предмета, который может стать очень интересным и увлекательным Есть сотни учебников по автоматическому управлению Но вся проблема в том, что мозг при восприятии новой информации ищет что-то знакомое, за что можно «зацепиться», и на этой основе «привязать» новое к уже известным понятиям Практика показывает, что читать серьезные учебники современному студенту сложно Не за что зацепиться Да и за строгими научными доказательствами часто ускользает суть дела, которая обычно достаточно проста Автор попытался «спуститься» на уровень ниже и выстроить цепочку от «житейских» понятий к понятиям теории управления Изложение на каждом шагу грешит нестрогостью, доказательства не приводятся, формулы используются только там, где без них нельзя Математик найдет здесь много недоговоренностей и упущений, поскольку (в соответствии с целями пособия) между строгостью и понятностью выбор всегда делается в пользу понятности От читателя требуются небольшие предварительные знания Нужно иметь представление о некоторых разделах курса высшей математики:) производных и интегралах;) дифференциальных уравнениях; 3) линейной алгебре, матрицах; 4) комплексных числах Благодарности Автор выражает глубокую признательность дф-мн АН Чурилову, ктн ВН Калиниченко и ктн ВО Рыбинскому, которые внимательно прочитали предварительную версию пособия и высказали много ценных замечаний, которые позволили улучшить изложение и сделать его более понятным

3 КЮ Поляков, 8 Содержание ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 4 Введение 4 Системы управления4 3 Какие бывают системы управления? 7 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Что нужно знать для управления? Связь входа и выхода 3 Как строятся модели? 4 Линейность и нелинейность 5 Линеаризация уравнений3 6 Управление 7 3 МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ 3 Дифференциальные уравнения 3 Модели в пространстве состояний 33 Переходная функция 34 Импульсная характеристика (весовая функция) 4 35 Передаточная функция5 36 Преобразование Лапласа 6 37 Передаточная функция и пространство состояний9 38 Частотные характеристики 3 39 Логарифмические частотные характеристики3 4 ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ34 4 Усилитель 34 4 Апериодическое звено34 43 Колебательное звено36 44 Интегрирующее звено38 45 Дифференцирующие звенья Запаздывание 4 47 «Обратные» звенья4 48 ЛАФЧХ сложных звеньев 4 5 СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ43 5 Условные обозначения 43 5 Правила преобразования44 53 Типовая одноконтурная система 45 6 АНАЛИЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 47 6 Требования к управлению47 6 Процесс на выходе47 63 Точность Устойчивость 5 65 Критерии устойчивости57 66 Переходный процесс6 67 Частотные оценки качества63 68 Корневые оценки качества65 69 Робастность 66 7 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ 69 7 Классическая схема69 7 ПИД-регуляторы7 73 Метод размещения полюсов 7 74 Коррекция ЛАФЧХ 7 75 Комбинированное управление75 76 Инвариантность75 77 Множество стабилизирующих регуляторов 76 ЗАКЛЮЧЕНИЕ79 ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ПОСЛЕДУЮЩЕГО ЧТЕНИЯ8 3

4 КЮ Поляков, 8 Основные понятия Введение С древних времен человек хотел использовать предметы и силы природы в своих целях, то есть управлять ими Управлять можно неодушевленными предметами (например, перекатывая камень на другое место), животными (дрессировка), людьми (начальник подчиненный) Множество задач управления в современном мире связано с техническими системами автомобилями, кораблями, самолетами, станками Например, нужно поддерживать заданный курс корабля, высоту самолета, частоту вращения двигателя, температуру в холодильнике или в печи Если эти задачи решаются без участия человека, говорят об автоматическом управлении Теория управления пытается ответить на вопрос «как нужно управлять?» До XIX века науки об управлении не существовало, хотя первые системы автоматического управления уже были (например, ветряные мельницы «научили» разворачиваться навстречу ветру) Развитие теории управления началось в период промышленной революции Сначала это направление в науке разрабатывалось механиками для решения задач регулирования, то есть поддержания заданного значения частоты вращения, температуры, давления в технических устройствах (например, в паровых машинах) Отсюда происходит название «теория автоматического регулирования» Позднее выяснилось, что принципы управления можно успешно применять не только в технике, но и в биологии, экономике, общественных науках Процессы управления и обработки информации в системах любой природы изучает наука кибернетика Один из ее разделов, связанный главным образом с техническими системами, называется теорией автоматического управления Кроме классических задач регулирования, она занимается также оптимизацией законов управления, вопросами приспособляемости (адаптации) Иногда названия «теория автоматического управления» и «теория автоматического регулирования» используются как синонимы Например, в современной зарубежной литературе вы встретите только один термин control theory Системы управления Из чего состоит система управления? В задачах управления всегда есть два объекта управляемый и управляющий Управляемый объект обычно называют объектом управления или просто объектом, а управляющий объект регулятором Например, при управлении частотой вращения объект управления это двигатель (электромотор, турбина); в задаче стабилизации курса корабля корабль, погруженный в воду; в задаче поддержания уровня громкости динамик Регуляторы могут быть построены на разных принципах Самый знаменитый из первых механических регуляторов центробежный регулятор Уатта для стабилизации частоты вращения паровой турбины (на рисунке справа) Когда частота вращения увеличивается, шарики расходятся из-за увеличения центробежной силы При этом через систему рычагов немного закрывается заслонка, уменьшая поток пара на турбину Регулятор температуры в холодильнике или термостате это электронная схема, которая включает режим охлаждения (или нагрева), если температура становится выше (или ниже) заданной Во многих современных системах регуляторы это микропроцессорные устройства, компьютеры Они успешно управляют самолетами и космическими кораблями без участия человепар на турбину 4

5 КЮ Поляков, 8 ка Современный автомобиль буквально «напичкан» управляющей электроникой, вплоть до бортовых компьютеров Обычно регулятор действует на объект управления не прямо, а через исполнительные механизмы (приводы), которые могут усиливать и преобразовывать сигнал управления, например, электрический сигнал может «превращаться» в перемещение клапана, регулирующего расход топлива, или в поворот руля на некоторый угол Чтобы регулятор мог «видеть», что фактически происходит с объектом, нужны датчики С помощью датчиков чаще всего измеряются те характеристики объекта, которыми нужно управлять Кроме того, качество управления можно улучшить, если получать дополнительную информацию измерять внутренние свойства объекта Структура системы Итак, в типичную систему управления входят объект, регулятор, привод и датчики Однако, набор этих элементов еще не система Для превращения в систему нужны каналы связи, через них идет обмен информацией между элементами Для передачи информации могут использоваться электрический ток, воздух (пневматические системы), жидкость (гидравлические системы), компьютерные сети Взаимосвязанные элементы это уже система, которая обладает (за счет связей) особыми свойствами, которых нет у отдельных элементов и любой их комбинации Основная интрига управления связана с тем, что на объект действует окружающая среда внешние возмущения, которые «мешают» регулятору выполнять поставленную задачу Большинство возмущений заранее непредсказуемы, то есть носят случайный характер Кроме того, датчики измеряют параметры не точно, а с некоторой ошибкой, пусть и малой В этом случае говорят о «шумах измерений» по аналогии с шумами в радиотехнике, которые искажают сигналы Подводя итого, можно нарисовать структурную схему системы управления так: задание регулятор управление привод объект внешние возмущения обратная связь датчики шумы измерений Например, в системе управления курсом корабля объект управления это сам корабль, находящийся в воде; для управления его курсом используется руль, изменяющий направление потока воды; регулятор цифровая вычислительная машина; привод рулевое устройство, которое усиливает управляющий электрический сигнал и преобразует его в поворот руля; датчики измерительная система, определяющая фактический курс; внешние возмущения это морское волнение и ветер, отклоняющие корабль от заданного курса; шумы измерений это ошибки датчиков Информация в системе управления как бы «ходит по кругу»: регулятор выдает сигнал управления на привод, который воздействует непосредственно на объект; затем информация об объекте через датчики возвращается обратно к регулятору и все начинается заново Говорят, что в системе есть обратная связь, то есть регулятор использует информацию о состоянии объекта для выработки управления Системы с обратной связью называют замкнутыми, поскольку информация передается по замкнутому контуру 5

6 КЮ Поляков, 8 3 Как работает регулятор? Регулятор сравнивает задающий сигнал («задание», «уставку», «желаемое значение») с сигналами обратной связи от датчиков и определяет рассогласование (ошибку управления) разницу между заданным и фактическим состоянием Если оно равно нулю, никакого управления не требуется Если разница есть, регулятор выдает управляющий сигнал, который стремится свести рассогласование к нулю Поэтому схему регулятора во многих случаях можно нарисовать так: задание рассогласование (ошибка) алгоритм управления управление обратная связь Такая схема показывает управление по ошибке (или по отклонению) Это значит, что для того, чтобы регулятор начал действовать, нужно, чтобы управляемая величина отклонилась от заданного значения Блок, обозначенный знаком, находит рассогласование В простейшем случае в нем из заданного значения вычитается сигнал обратной связи (измеренное значение) Можно ли управлять объектом так, чтобы не было ошибки? В реальных системах нет Прежде всего, из-за внешних воздействий и шумов, которые заранее неизвестны Кроме того, объекты управления обладают инерционностью, то есть, не могут мгновенно перейти из одного состояния в другое Возможности регулятора и приводов (то есть мощность сигнала управления) всегда ограничены, поэтому быстродействие системы управления (скорость перехода на новый режим) также ограничена Например, при управлении кораблем угол перекладки руля обычно не превышает 3 35, это ограничивает скорость изменения курса Мы рассмотрели вариант, когда обратная связь используется для того, чтобы уменьшить разницу между заданным и фактическим состоянием объекта управления Такая обратная связь называется отрицательной, потому что сигнал обратной связи вычитается из задающего сигнала Может ли быть наоборот? Оказывается, да В этом случае обратная связь называется положительной, она увеличивает рассогласование, то есть, стремится «раскачать» систему На практике положительная обратная связь применяется, например, в генераторах для поддержания незатухающих электрических колебаний 4 Разомкнутые системы Можно ли управлять, не используя обратную связь? В принципе, можно В этом случае регулятор не получает никакой информации о реальном состоянии объекта, поэтому должно быть точно известно, как этот объект себя ведет Только тогда можно заранее рассчитать, как им нужно управлять (построить нужную программу управления) Однако при этом нельзя гарантировать, что задание будет выполнено Такие системы называют системами программного управления или разомкнутыми системами, поскольку информация передается не по замкнутому контуру, а только в одном направлении программа регулятор управление привод объект внешние возмущения Слепой и глухой водитель тоже может вести машину Некоторое время Пока он помнит дорогу и сможет правильно рассчитать свое место Пока на пути не встретятся пешеходы или другие машины, о которых он заранее не может знать Из этого простого примера ясно, что без 6

7 КЮ Поляков, 8 обратной связи (информации с датчиков) невозможно учесть влияние неизвестных факторов, неполноту наших знаний Несмотря на эти недостатки, разомкнутые системы применяются на практике Например, информационное табло на вокзале Или простейшая система управления двигателем, в которой не требуется очень точно поддерживать частоту вращения Однако с точки зрения теории управления разомкнутые системы малоинтересны, и мы не будем больше про них вспоминать 3 Какие бывают системы управления? Автоматическая система это система, работающая без участия человека Есть еще автоматизированные системы, в которых рутинные процессы (сбор и анализ информации) выполняет компьютер, но управляет всей системой человек-оператор, который и принимает решения Мы будем далее изучать только автоматические системы 3 Задачи систем управления Автоматические системы управления применяются для решения трех типов задач: стабилизация, то есть поддержание заданного режима работы, который не меняется длительное время (задающий сигнал постоянная, часто нуль); программное управление управление по заранее известной программе (задающий сигнал меняется, но заранее известен); слежение за неизвестным задающим сигналом К системам стабилизации относятся, например, авторулевые на кораблях (поддержание заданного курса), системы регулирования частоты вращения турбин Системы программного управления широко используются в бытовой технике, например, в стиральных машинах Следящие системы служат для усиления и преобразования сигналов, они применяются в приводах и при передаче команд через линии связи, например, через Интернет 3 Одномерные и многомерные системы По количеству входов и выходов бывают одномерные системы, у которых один вход и один выход (они рассматриваются в так называемой классической теории управления); многомерные системы, имеющие несколько входов и/или выходов (главный предмет изучения современной теории управления) Мы будем изучать только одномерные системы, где и объект, и регулятор имеют один входной и один выходной сигнал Например, при управлении кораблем по курсу можно считать, что есть одно управляющее воздействие (поворот руля) и одна регулируемая величина (курс) Однако, в самом деле это не совсем верно Дело в том, что при изменении курса меняется также крен и дифферент корабля В одномерной модели мы пренебрегаем этими изменениями, хотя они могут быть очень существенными Например, при резком повороте крен может достигнуть недопустимого значения С другой стороны, для управления можно использовать не только руль, но и различные подруливающие устройства, стабилизаторы качки и тп, то есть объект имеет несколько входов Таким образом, реальная система управления курсом многомерная Исследование многомерных систем достаточно сложная задача и выходит за рамки этого пособия Поэтому в инженерных расчетах стараются иногда упрощенно представить многомерную систему как несколько одномерных, и довольно часто такой метод приводит к успеху 33 Непрерывные и дискретные системы По характеру сигналов системы могут быть непрерывными, в которых все сигналы функции непрерывного времени, определенные на некотором интервале; дискретными, в которых используются дискретные сигналы (последовательности чисел), определенные только в отдельные моменты времени; 7

8 КЮ Поляков, 8 непрерывно-дискретными, в которых есть как непрерывные, так и дискретные сигналы Непрерывные (или аналоговые) системы обычно описываются дифференциальными уравнениями Это все системы управления движением, в которых нет компьютеров и других элементов дискретного действия (микропроцессоров, логических интегральных схем) Микропроцессоры и компьютеры это дискретные системы, поскольку в них вся информация хранится и обрабатывается в дискретной форме Компьютер не может обрабатывать непрерывные сигналы, поскольку работает только с последовательностями чисел Примеры дискретных систем можно найти в экономике (период отсчета квартал или год) и в биологии (модель «хищник-жертва») Для их описания применяют разностные уравнения Существуют также и гибридные непрерывно-дискретные системы, например, компьютерные системы управления движущимися объектами (кораблями, самолетами, автомобилями и др) В них часть элементов описывается дифференциальными уравнениями, а часть разностными С точки зрения математики это создает большие сложности для их исследования, поэтому во многих случаях непрерывно-дискретные системы сводят к упрощенным чисто непрерывным или чисто дискретным моделям 34 Стационарные и нестационарные системы Для управления очень важен вопрос о том, изменяются ли характеристики объекта со временем Системы, в которых все параметры остаются постоянными, называются стационарными, что значит «не изменяющиеся во времени» В этом пособии рассматриваются только стационарные системы В практических задачах часто дело обстоит не так радужно Например, летящая ракета расходует топливо и за счет этого ее масса изменяется Таким образом, ракета нестационарный объект Системы, в которых параметры объекта или регулятора изменяются со временем, называются нестационарными Хотя теория нестационарных систем существует (формулы написаны), применить ее на практике не так просто 35 Определенность и случайность Самый простой вариант считать, что все параметры объекта определены (заданы) точно, так же, как и внешние воздействия В этом случае мы говорим о детерминированных системах, которые рассматривались в классической теории управления Тем не менее, в реальных задачах точных данных у нас нет Прежде всего, это относится к внешним воздействиям Например, для исследования качки корабля на первом этапе можно считать, что волна имеет форму синуса известной амплитуды и частоты Это детерминированная модель Так ли это на практике? Естественно нет С помощью такого подхода можно получить только приближенные, грубые результаты По современным представлениям форма волны приближенно описывается как сумма синусоид, которые имеют случайные, то есть неизвестные заранее, частоты, амплитуды и фазы Помехи, шум измерений это тоже случайные сигналы Системы, в которых действуют случайные возмущения или параметры объекта могут изменяться случайным образом, называются стохастическими (вероятностными) Теория стохастических систем позволяет получать только вероятностные результаты Например, нельзя гарантировать, что отклонение корабля от курса всегда будет составлять не более, но можно попытаться обеспечить такое отклонение с некоторой вероятностью (вероятность 99% означает, что требование будет выполнено в 99 случаях из) 36 Оптимальные системы Часто требования к системе можно сформулировать в виде задачи оптимизации В оптимальных системах регулятор строится так, чтобы обеспечить минимум или максимум какого-то критерия качества Нужно помнить, что выражение «оптимальная система» не означает, что она действительно идеальная Все определяется принятым критерием если он выбран удачно, система получится хорошая, если нет то наоборот 8

9 КЮ Поляков, 8 37 Особые классы систем Если параметры объекта или возмущений известны неточно или могут изменяться со временем (в нестационарных системах), применяют адаптивные или самонастраивающиеся регуляторы, в которых закон управления меняется при изменении условий В простейшем случае (когда есть несколько заранее известных режимов работы) происходит простое переключение между несколькими законами управления Часто в адаптивных системах регулятор оценивает параметры объекта в реальном времени и соответственно изменяет закон управления по заданному правилу Самонастраивающаяся система, которая пытается настроить регулятор так, чтобы «найти» максимум или минимум какого-то критерия качества, называется экстремальной (от слова экстремум, обозначающего максимум или минимум) Во многих современных бытовых устройствах (например, в стиральных машинах) используются нечеткие регуляторы, построенные на принципах нечеткой логики Этот подход позволяет формализовать человеческий способ принятия решения: «если корабль ушел сильно вправо, руль нужно сильно переложить влево» Одно из популярных направлений в современной теории применение достижений искусственного интеллекта для управления техническими системами Регулятор строится (или только настраивается) на основе нейронной сети, которую предварительно обучает человекэксперт 9

10 КЮ Поляков, 8 Математические модели Что нужно знать для управления? Цель любого управления изменить состояние объекта нужным образом (в соответствии с заданием) Теория автоматического регулирования должна ответить на вопрос: «как построить регулятор, который может управлять данным объектом так, чтобы достичь цели?» Для этого разработчику необходимо знать, как система управления будет реагировать на разные воздействия, то есть нужна модель системы: объекта, привода, датчиков, каналов связи, возмущений, шумов Модель это объект, который мы используем для изучения другого объекта (оригинала) Модель и оригинал должны быть в чем-то похожи, чтобы выводы, сделанные при изучении модели, можно было бы (с некоторой вероятностью) перенести на оригинал Нас будут интересовать в первую очередь математические модели, выраженные в виде формул Кроме того, в науке используются также описательные (словесные), графические, табличные и другие модели Связь входа и выхода Любой объект взаимодействует с внешней средой с помощью входов и выходов Входы это возможные воздействия на объект, выходы это те сигналы, которые можно измерить Например, для электродвигателя входами могут быть напряжение питания и нагрузка, а выходами частота вращения вала, температура Входы независимы, они «приходят» из внешней среды При изменении информации на входе меняется внутреннее состояние объекта (так называют его изменяющиеся свойства) и, как следствие, выходы: вход x выход y Это значит, что существует некоторое правило, по которому элемент преобразует вход x в выход y Это правило называется оператором Запись y U[x] означает, что выход y получен в результате применения оператора U ко входу x Построить модель это значит найти оператор, связывающий входы и выходы С его помощью можно предсказать реакцию объекта на любой входной сигнал Рассмотрим электродвигатель постоянного тока Вход этого объекта это напряжение питания (в вольтах), выход частота вращения (в оборотах в секунду) Будем считать, что при напряжении В частота вращения равна об/сек, а при напряжении В об/сек, то есть частота вращения равна по величине напряжению Легко видеть, что действие такого оператора можно записать в виде U [ x] x Теперь предположим, что этот же двигатель вращает колесо и в качестве выхода объекта мы выбрали число оборотов колеса относительно начального положения (в момент t) В этом случае при равномерном вращении произведение x t дает нам количество оборотов за время t, то есть y(x t (здесь запись y (явно обозначает зависимость выхода от времени t) Можно ли считать, что этой формулой мы определили оператор U? Очевидно, что нет, потому что полученная зависимость справедлива только для постоянного входного сигнала Если напряжение на входе x (меняется (все равно как!), угол поворота запишется в виде интеграла U Конечно, это будет справедливо только в некотором диапазоне напряжений

11 КЮ Поляков, 8 t U[ x] x(dt Оператор, который действует по такому правилу, называется оператором интегрирования С помощью этого оператора можно, например, описать наполнение пустого бака водой Если сечение бака S (в м) постоянно по всей его высоте, то уровень воды h определяется как интеграл от потока воды q (в м 3 /с), деленный на S: h(q(dt, S Обратный оператор оператор дифференцирования вычисляет производную: dx(U[ x(] x& (dt Как мы увидим, этот оператор играет очень важную роль в описании объектов управления Обычно оператор дифференцирования обозначается буквой p Запись y (p x(внешне выглядит как «умножение» оператора p на сигнал x (, но на самом деле обозначает действие этого оператора, то есть дифференцирование: dx(p x(() dt Где встречаются такие операторы? Приведем примеры из электротехники Например, известно, что ток i (в амперах), проходящий по цепи с конденсатором, пропорционален производной от разности потенциалов u (в вольтах) на его пластинах: i du(i (C C p u(dt u Здесь C емкость конденсатора (измеряется в фарадах) Кроме того, падение напряжения u на катушке индуктивности пропорционально производной от проходящего тока i: i di(u (L L p i(dt u где L индуктивность (измеряется в генри) Оператор дифференцирования это идеальный (физически нереализуемый) оператор, его невозможно реализовать на практике Чтобы понять это вспомним, что при мгновенном изменении сигнала его производная (скорость возрастания) будет равна бесконечности, а никакое реальное устройство не может работать с бесконечными сигналами 3 Как строятся модели? Во-первых, математические модели могут быть получены теоретически из законов физики (законы сохранения массы, энергии, импульса) Эти модели описывают внутренние связи в объекте и, как правило, наиболее точны Рассмотрим RLC-цепочку, то есть последовательное соединение резистора с сопротивлением R (в омах), катушки индуктивности с индуктивностью L и конденсатора с емкостью C Она может быть описана с помощью двух уравнений: u (R i (L C u c (t di(u(uc(L R i(dt duc(i(C dt Первое уравнение означает, что разность потенциалов на концах RLC-цепочки равна сумме разностей потенциалов на всех промежуточных участках Разность потенциалов R i(на рези-

12 КЮ Поляков, 8 сторе вычисляется по закону Ома, а на катушке по формуле, приведенной в предыдущем параграфе Второе уравнение описывает связь между напряжением и током для конденсатора Вход этого объекта напряжение u (на концах цепочки, а выход разность потенциалов u c (на пластинах конденсатора Второй способ построение модели в результате наблюдения за объектом при различных входных сигналах (этим занимается теория идентификации) Объект рассматривается как «черный ящик», то есть, его внутреннее устройство неизвестно Мы смотрим, как он реагирует на входные сигналы, и стараемся подстроить модель так, чтобы выходы модели и объекта совпадали как можно точнее при разнообразных входах На практике часто используется смешанный способ: структура модели (вид уравнения, связывающего вход и выход) определяется из теории, а коэффициенты находят опытным путем Например, общий вид уравнений движения корабля хорошо известен, однако в этих уравнениях есть коэффициенты, которые зависят от многих факторов (формы корпуса, шероховатости поверхности и тп), так что их крайне сложно (или невозможно) найти теоретически В этом случае для определения неизвестных коэффициентов строят масштабные модели и испытывают их в бассейнах по специальным методикам В авиастроении для тех же целей используют аэродинамические трубы Для любого объекта управления можно построить множество различных моделей, которые будут учитывать (или не учитывать) те или иные факторы Обычно на первом этапе стараются описать объект как можно более подробно, составить детальную модель Однако при этом будет трудно теоретически рассчитать закон управления, который отвечает заданным требованиям к системе Даже если мы сможем его рассчитать, он может оказаться слишком сложным для реализации или очень дорогим С другой стороны, можно упростить модель объекта, отбросив некоторые «детали», которые кажутся разработчику маловажными Для упрощенной модели закон управления также получается проще, и с его помощью часто можно добиться желаемого результата Однако в этом случае нет гарантии, что он будет так же хорошо управлять полной моделью (и реальным объектом) Обычно используется компромиссный вариант Начинают с простых моделей, стараясь спроектировать регулятор так, чтобы он «подходил» и для сложной модели Это свойство называют робастностью (грубостью) регулятора (или системы), оно означает нечувствительность к ошибкам моделирования Затем проверяют работу построенного закона управления на полной модели или на реальном объекте Если получен отрицательный результат (простой регулятор «не работает»), усложняют модель, вводя в нее дополнительные подробности И все начинается сначала 4 Линейность и нелинейность Из школьной математики известно, что проще всего решать линейные уравнения С нелинейными уравнениями (квадратными, кубическими и др) работать намного сложнее, многие типы уравнений математика пока не умеет решать аналитически (точно) Среди операторов самые простые также линейные Они обладают двумя свойствами: умножение на константу: U[ α x] α U[ x], где α любая постоянная (то есть, при увеличении входа в несколько раз выход увеличивается во столько же раз); принцип суперпозиции: если на вход подать сумму двух сигналов, выход будет представлять собой сумму реакций того же оператора на отдельные сигналы: U [ x x] U[ x ] U[ x] Модели, которые описываются линейными операторами, называются линейными С ними можно работать с помощью методов теории линейных систем, которая наиболее развита и позволяет точно решать большинство известных практических задач В математике эти свойства называют однородность и аддитивность

13 КЮ Поляков, 8 Однако, все модели реальных систем нелинейные Это легко понять хотя бы потому, что всегда есть предельно допустимое значение входного сигнала при его превышении объект может просто выйти из строя или даже разрушиться (линейность нарушается) Методы исследования нелинейных операторов очень сложны математически, в теории нелинейных систем точные решения известны только для достаточно узкого круга задач Здесь пока больше «белых пятен», чем полученных результатов, хотя это научное направление активно развивается в последние годы Что же делать? Чаще всего сначала проводят линеаризацию нелинейной модели объекта (привода), то есть строят приближенную линейную модель Затем на основе этой модели проектируют закон управления, применяя точные методы теории линейных систем Наконец, проверяют полученный регулятор с помощью компьютерного моделирования на полной нелинейной модели Нужно отметить, что если объект или привод имеют так называемую «существенную» нелинейность, этот подход может не сработать Тогда приходится использовать методы нелинейной теории, а также компьютерное моделирование Моделирование стало очень популярным в последнее время, поскольку появились мощные компьютерные программы для проведения вычислительных экспериментов, и можно проверить поведение системы при разнообразных допустимых входных сигналах Таким образом, в классификацию систем управления в разделе 3 нужно добавить еще одно деление, может быть, самое существенное системы бывают линейные и нелинейные В линейных системах все звенья описываются линейными операторами, и это значительно упрощает работу с ними 5 Линеаризация уравнений Вы уже знаете, что в теории управления лучше всего разработаны методы исследования линейных систем Однако строго линейных систем в окружающем нас мире не существует Поэтому для того, чтобы эти методы можно было применить на практике, нужно выполнить линеаризацию построить приближенную линейную модель на основе более реалистичной нелинейной модели объекта 5 Алгебраические уравнения Представим себе бак с водой В нижней части бака просверлено отверстие, через которое вытекает вода Площадь сечения бака обозначим через S, а площадь сечения отверстия через S Построим модель, которая связывает уровень воды в баке h (в метрах) и расход вытекающей воды q (в м 3 /с) Эту связь можно найти с помощью закона Бернулли, который в данном случае принимает вид ρ v ρ g h Здесь ρ плотность жидкости (в кг/м 3), g 9, 8 м/с ускорение свободного падения, v скорость вытекания жидкости (в м/с) Отсюда получаем v gh Учитывая, что расход воды вычисляется как q S v, находим q α h, () где α S g постоянная величина Это статическая модель, потому что она не содержит производных, характеризующих изменение сигналов во времени Статическая модель описывает установившееся состояние (статический режим), когда в баке поддерживается постоянный уровень воды и поток вытекающей воды тоже постоянный h S S q 3

14 КЮ Поляков, 8 Очевидно, что модель () нелинейная, поскольку содержит h Линеаризовать ее значит приближенно заменить уравнение () линейным уравнением q k h, где k некоторый коэффициент Как его выбрать? На этот вопрос нет однозначного ответа Предположим, что уровень воды изменяется в интервале от до м Тогда один из вариантов вычислить коэффициент как угол наклона отрезка, соединяющего точки кривой q α h на концах этого интервала Для определенности далее везде принимаем α, тогда получаем k Конечно, эта модель очень грубая и дает большую ошибку, особенно для уровней в диапазоне от, до,6 Чтобы уменьшить ошибку, можно попробовать несколько изменить k (например, увеличив его до,), однако точность приближения по-прежнему будет невысока, хотя и чуть-чуть лучше, чем в первом случае q q k, k,77 k h 5 h Теперь предположим, что обычно уровень мало изменяется вблизи среднего значения h,5 м В этом случае можно применить другой подход Заметим, что в этой области кривая q α h почти совпадает с касательной в точке (,5;), угол наклона которой равен производной dq k,77 dh h,5 h h,5 Касательная это прямая с наклоном k, проходящая через точку (,5;), ее уравнение имеет вид q kh b Свободный член b определим из равенства kh b,5 b b,354, 4 так что получаем модель q h (3) 4 Это линейное уравнение, однако модель (3) нелинейная, поскольку для нее не выполняется, например, свойство умножения на константу Это легко проверить, сравнив U[ h] и U[ h] : U [ h] h, U[ h] h U[ h] 4 Принцип суперпозиции также не выполняется Для того, чтобы получить из (3) линейную модель, нужно записать уравнения в отклонениях от рабочей точки (h ; q), в которой мы определяли наклон касательной Из (3) следует, что 4

15 КЮ Поляков, 8 q q (h h) (4) 4 Поскольку график зависимости (3) проходит через точку (h ; q), можно применить равенство q h Тогда из (4) находим 4 q h (5) Полученное таким образом уравнение это линейная модель объекта, записанная в отклонениях входа и выхода от номинальной (рабочей) точки (h ; q) Приближенная модель (5) точнее всего соответствует объекту вблизи этой точки, а при больших отклонениях от нее ошибка может значительно возрастать На этом простом примере мы познакомились с основными принципами линеаризации нелинейных алгебраических уравнений В следующем параграфе те же самые идеи используются для более сложной модели, которая описывает динамику системы (изменение во времени) 5 Дифференциальные уравнения Реальные объекты не могут мгновенно изменять свое состояние, поэтому вместо статических моделей типа () для их исследования используют динамические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями, содержащими производные (скорости изменения сигналов) Как мы видели в разделе 3, такие модели могут быть получены из физических законов Во многих случаях более или менее точные модели представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения, поэтому для того, чтобы применить теорию линейных систем, требуется линеаризация При этом применяется почти та же методика, что и для алгебраических уравнений Идея линеаризации заключается в том, что в системах регулирования (поддержания заданных значений величин) сигналы мало отклоняются от рабочей точки некоторого положения равновесия, в котором все сигналы имеют «правильные» значения и их производные равны нулю Поэтому для решения задач управления часто достаточно использовать линейную модель в отклонениях от этой рабочей точки Модель, только что построенная для бака с водой, не совсем правильная, потому что не учитывает, что уровень в баке изменяется уменьшается по мере вытекания воды Кроме того, предположим, что для поддержания уровня используется насос, который подкачивает воду в бак, его расход обозначим через Q Для такого объекта входом является расход Q, а выходом изменение уровня h Предположим, что в течение маленького интервала t расходы Q и q можно считать постоянным За это время объем воды, добавленной в бак насосом, равен Q t, а объем «ушедшей» воды q t Учитывая, что площадь сечения бака равна S, получаем изменение уровня: (Q q) h t Переходя к пределу при t, получаем дифференциальное уравнение S dh([ Q(q(] dt S Эта модель учитывает, что уровень воды и расходы изменяются во времени Вспомним, что расход вытекающей жидкости q (зависит от уровня воды в баке h (и связан с ним нелинейной зависимостью q(α h(Поэтому уравнение можно записать в виде dh(α Q(h((6) dt S S 5

16 КЮ Поляков, 8 Здесь остались только две изменяющиеся величины: расход насоса Q ((вход объекта) и уровень воды h ((выход) Далее для упрощения записи мы не будем явно указывать зависимость этих сигналов от времени В установившемся (статическом) режиме, когда сигналы не изменяются, все производные равны нулю В нашем случае, приняв в (6), получаем dh(dt Q Q α h h (7) α Эта зависимость между установившимися значениями входа Q и выхода h называется статической характеристикой Она позволяет для любого заданного постоянного значения Q на входе получить значение выхода h Теперь предположим, что задана некоторая рабочая точка, то есть, значения входа Q Q и выхода h h удовлетворяют уравнению (7), и система все время работает около этого положения равновесия Вблизи этой точки Q Q Q и h h h, где Q и h малые отклонения входа и выхода от рабочей точки Дальше для линеаризации используется разложение функций в ряд Тейлора Для некоторой функции f (x, y) в окрестности точки x,) этот ряд имеет вид: (y f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) x y F(x, y), x y f (x, y) f (x, y) где и x y частные производные функции f (x, y) по x и по y в точке (x, y), а F (x, y) зависит от высших производных в той же точке (второй, третьей и тд) При малых значениях x и y можно считать, что «хвост» этого ряда F (x, y) очень мал, примерно равен нулю, поэтому f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) x y (8) x y Применим формулу (8) для линеаризации правой части уравнения (6), где в роли x выступает расход Q, а в роли y уровень h Выполняя дифференцирование, находим α α α Q h, Q h Q S S S h S S S h Тогда с помощью формулы (8) получаем α α α Q h Q h Q h S S S S S S h Подставим Q Q Q и h h h в уравнение (6) и учтем, что d h α α Q h Q dt S S S S h h d(h h) d h Тогда dt dt α Вспоминая, что Q и h соответствуют статическому режиму, то есть Q h, получаем линеаризованное уравнение в отклонениях от рабочей точки: S S d h kh h kq Q, (9) dt 6

17 КЮ Поляков, 8 α где k h и k Q Заметим, что коэффициент k h зависит от h, то есть от выбора рабочей точки В этом проявляется нелинейность объекта S h S Обычно при записи линеаризованного уравнения знак (обозначающий отклонение) не пишут Таким образом, окончательно получаем линеаризованную модель dh(kh h(kq Q(() dt Но нужно помнить, что это уравнение в отклонениях, и оно справедливо только при малых отклонениях от рабочей точки (Q, h) При выборе другой рабочей точки коэффициент k h получится другой 6 Управление Посмотрим на примере, как можно управлять объектом и что из этого получается Немного изменим предыдущую задачу, разрешив потоку вытекающей жидкости q изменяться независимо (в теории управления это называется нагрузкой на объект) Для того, чтобы обеспечить водой всех жителей деревни, построили водонапорную башню, в которую насосом закачивается вода из реки Каждый житель может в любой момент включить воду на своем участке, например, для полива Нужно построить систему, которая автоматически поддерживает заданный уровень h воды в цистерне Q (в метрах) Будем считать, что жителей довольно много, поэтому у кого-то всегда включена вода и насос постоянно работает на закачку воды в цистерну Для управления уровнем воды h мы можем изменять его поток Q (в м 3 /с) Таким образом, уровень h это регулируемая величина, а поток Q сигнал управления Для обратной связи используем датчик, измеряющий уровень воды h в цистерне h q Построим математическую модель объекта, то есть цистерны Поток на выходе q (в м 3 /с) показывает, сколько воды вытекает из цистерны за с это нагрузка Изменение уровня h зависит от разности потоков Q q и площади сечения цистерны S Если разность потоков постоянна в течение интервала времени общем случае нужно использовать интеграл: t t, то Q(q(h(t В S h((Q(q() dt S Пусть в момент времени t уровень воды равен заданному значению, а входной и выходной потоки равны (Q () q() q), так что уровень не меняется Этот режим мы примем за номинальный (рабочую точку) Для того, чтобы получить уравнение в отклонениях, представим потоки в виде Q(q Q(, q(q q(, где Q(и q(малые отклонения потоков от номинального режима Тогда, опуская знак приращения, можно записать модель объекта управления в форме t h((Q(q() dt S 7

18 КЮ Поляков, 8 Здесь h (, Q (и q (обозначают отклонения этих величин от номинальных значений Заметим, что эта модель может быть записана как дифференциальное уравнение (если найти производные обеих частей равенства): dh([ Q(q(] dt S Для упрощения далее примем S м В качестве обратной связи мы будем использовать сигнал с датчика уровня Ошибка управления вычисляется как разница между заданным и измеренным уровнями воды: e(h (h(Применим самый простой регулятор усилитель с коэффициентом K (или пропорциональный регулятор, П-регулятор), который управляет потоком по закону q(K e(K [ h (h(] Структурная схема системы управления показана на рисунке ниже Знак интеграла обозначает звено, модель которого оператор интегрирования С помощью кружка с секторами обозначается сложение сигналов Если какой-то сектор закрашен черным цветом, входящий в него сигнал вычитается (учитывается в сумме со знаком «минус») Кроме сигналов, о которых уже шла речь, на рисунке показан также шум измерения m (, искажающий показания датчика q регулятор объект h e Q h К m Проверим работу этого регулятора при различных значениях коэффициента K Сначала будем считать, что шума измерений нет, то есть уровень измеряется точно Предположим, что расход воды на выходе q увеличивается скачком (все начали поливать огороды) Синяя линия на рисунке (см ниже) показывает изменение уровня при K, а зеленая при K 5 h K 5 t K По этим данным можно сделать некоторые выводы: при изменении нагрузки (потребления воды, потока q) регулятор-усилитель не может поддерживать заданный уровень (графики не приходят к значению h); чем больше К, тем меньше ошибка регулирования h в установившемся режиме; можно ожидать, что при K ошибка должна уменьшиться до нуля; чем больше К, тем быстрее заканчивается переход на новый режим Кажется, что для улучшения управления нужно увеличивать K, однако это только первое впечатление Теперь посмотрим, что будет, если есть шум измерений (случайная ошибка датчика) 8

19 КЮ Поляков, 8 h Q K 5 t K 5 K K t По графикам видно, что при неточных измерениях уровень колеблется около некоторого среднего значения (того, что было получено без шума), причем при бóльшем K колебания увеличиваются Этот эффект особенно хорошо виден на графике изменения расхода насоса q (рисунок справа) При увеличении K повышение точности (уменьшение установившейся ошибки) достигается за счет повышенной активности насоса, который все время «дергается» При этом механические части изнашиваются, и существенно уменьшается его срок службы Поэтому коэффициент K нельзя сильно увеличивать Один из главных выводов этого примера: управление чаще всего связано с компромиссом Здесь, с одной стороны, нужно увеличивать K, чтобы повысить точность, а с другой нужно уменьшать K, чтобы уменьшить влияние шума измерения При выборе управления мы шли самым простым путем, остановившись на регулятореусилителе (П-регуляторе) У вдумчивого читателя неизбежно должны были возникнуть вопросы следующего характера: любым ли объектом можно управлять с помощью регулятора-усилителя? как правильно выбрать коэффициент K (на каком значении остановиться)? можно ли добиться улучшения управления с помощью более сложного регулятора? какой регулятор нужно применить, чтобы улучшить управление? как обеспечить нулевую установившуюся ошибку (постоянный уровень при любом расходе q) и можно ли это сделать вообще? как подавить шумы измерений, чтобы они не приводили к «дерганию» насоса? В следующих разделах представлены основы теории автоматического управления, которая отвечает на такие вопросы и предлагает надежные методы проектирования регуляторов, решающих задачу управления в соответствии с заданными требованиями 9

20 КЮ Поляков, 8 3 Модели линейных объектов 3 Дифференциальные уравнения Составляя модель объекта на основании физических законов, мы чаще всего получаем систему дифференциальных R уравнений первого и второго порядка Для примера покажем, как построить модель двигателя постоянного тока, используя законы механики и электротехники Вход этого объекта напряжение якоря u ((в ω e u вольтах), выход угол поворота вала θ ((в радианах) i Сначала вспомним некоторые «житейские» знания об электродвигателях Вал двигателя начинает вращаться, когда приложено напряжение питания Если напряжение не меняется, угловая скорость вращения ω ((в радианах в секунду) остается постоянной, при этом угол θ (равномерно увеличивается Чем больше напряжение, тем быстрее вращается вал Если зажать вал рукой (или подключить нагрузку, например, заставить двигатель вращать турбину), скорость вращения постепенно уменьшается до нового значения, при котором вращающий момент двигателя будет равен моменту сопротивления (нагрузки) Пока эти моменты равны, скорость вращения остается постоянной и ее производная равна нулю Теперь переведем эти рассуждения на строгий язык математики Угловая скорость вращения ω (вычисляется как производная от угла поворота вала θ (, то есть ω (Соот- dθ (dt ветственно, угол θ (это интеграл от угловой скорости В механике уравнение вращательного движения обычно записывают в виде dω(J M (M H (, dt где M (вращающий момент (измеряется в H м), M H (момент нагрузки (возмущение, также в H м) Буквой J обозначен суммарный момент инерции якоря и нагрузки (в кг м) Величина момента инерции говорит о том, насколько легко «разогнать» двигатель (чем больше момент инерции, тем сложнее «разогнать») Перейдем к электротехнике В нашем случае момент M (это электромагнитный момент двигателя, который вычисляется по формуле M (CM Φ i(, где C M коэффициент, Φ магнитный поток, создаваемый обмоткой возбуждения (измеряется в веберах); i (ток якоря (в амперах), который может быть найден из уравнения u(e(R i(, где e (электродвижущая сила (ЭДС) якоря (в вольтах) и R сопротивление якорной цепи (в омах) В свою очередь, ЭДС рассчитывается через магнитный поток и частоту вращения: e(Cω Φ ω(, где C ω коэффициент Вводя новые постоянные k C M Φ и k C ω Φ, можно записать модель двигателя в виде системы уравнений dω(dθ (J k i(M H (, e (k ω, ω (, u(e(R i(() dt dt Модель () описывает связи реальных сигналов в системе, ее внутреннее устройство Часто нам достаточно знать, как будет реагировать объект на заданный входной сигнал (управление) При этом его внутреннее устройство нас не очень интересует, то есть мы рас-

21 КЮ Поляков, 8 сматриваем объект в качестве «черного ящика» Подставив второе уравнение из системы () в третье, найдем i (и подставим в первое уравнение Переходя к переменной θ (, получаем: d θ (k dθ (J u(k M (H dt R dt или, перенося все члены, зависящие от θ (, в левую часть равенства d θ (kk dθ (J k u(M (H () dt R dt Это дифференциальное уравнение второго порядка, связывающее вход u (и нагрузку M H (с выходом θ (В сравнении с системой (), все внутренние сигналы исходной модели (e (и i () были исключены из уравнений Поэтому уравнение () называется уравнением «входвыход» Порядком модели называют порядок соответствующего дифференциального уравнения В данном случае мы получили модель второго порядка В этом разделе на простом примере мы посмотрели, как на основе физических законов строятся математические модели объектов управления Как правило, они представляют собой дифференциальные уравнения В дальнейшем мы будем использовать готовые модели объектов управления, предполагая, что они были кем-то получены ранее (например, предоставлены заказчиком) 3 Модели в пространстве состояний Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к некоторому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения Таким «стандартом» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется нормальной формой Коши Рассмотрим снова модель электродвигателя, считая, что M H ((нагрузки нет) Вспомнив, что ω (& θ (, можно записать () в виде системы & θ (ω(kk k & ω(ω(u(J R J R Эта система дифференциальных уравнений первого порядка быть записана в матричной форме: & θ ((kk θ k u((J R ((3) & ω ω J R Значения θ (и ω (определяют состояние двигателя в момент времени t Это значит, что зная их значения в некоторый момент времени t и входной сигнал u (при всех t t можно рассчитать поведение объекта для любого последующего момента При этом предыдущие значения θ (, ω (и u ((при t < t) не играют никакой роли Поэтому θ (и ω (называются переменными состояния, а вектор θ (вектором состояния ω(В теории управления принято обозначать вектор состояния через x (, вход объекта (сигнал управления) через u (Тогда модель (3) может быть записана в виде x& (A x(B u((4) θ (где x(, A kk ω(и B k Модель (4) связывает вход u (и вектор состояния x (, поэтому она называется моделью J R J R вход-состояние

22 КЮ Поляков, 8 Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение уравнение выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y (: x& (A x(B u((5) y(C x(D u(Эта модель называется моделью вход-состояние-выход Выходная координата для двигателя постоянного тока это угол поворота вала: θ (y(θ ( x((, ω так что C и D Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C С помощью модели (5), изменяя матрицы C и D, можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа Во многих практических задачах выход это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить Поскольку момент инерции J, сопротивление якоря R и коэффициенты k и k не зависят от времени, матрицы A, B, C и D в модели (5) постоянные Такие объекты называются стационарными, в отличие от нестационарных объектов, параметры которых изменяются во времени Запись моделей в единой форме (5) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах Покажем, как уравнения вида (5) могут быть решены и чем удобна именно такая форма записи Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x () при t Вспомним, что знание x () и входа u (при всех t > дает возможность однозначно определить дальнейшее поведение этого объекта Первое уравнение в (5) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения вектора состояния x (в любой момент времени Будем считать, что при t t, где t малый интервал времени, эта производная не меняется Тогда значение вектора состояния при t t приближенно определяется формулой x(x() x& () t x() [ A x() B u() ] t, то есть, его можно легко вычислить Зная x(и сигнал управления u(, находим выход системы в тот же момент y(C x(D u(Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаем x(x(x& (t x([ A x(B u(] t, y(C x(D u(Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > Конечно, точность будет тем выше, чем меньше t, однако объем вычислений при этом также увеличится Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйлера Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A, B, C и D, его (как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решения любых уравнений вида (5) 33 Переходная функция Один из методов построения моделей «вход-выход» определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал Один из простейших сигналов так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с до в момент t Формально этот сигнал определяется так:, t < (, t


Лекция 3 Математическое описание систем управления В теории управления при анализе и синтезе систем управления имеют дело с их математической моделью Математическая модель САУ представляет собой уравнения

Лекция 14 Классификация САУ Неприспосабливающиеся системы наиболее простые системы, не изменяющие своей структуры и параметров в процессе управления. Применяются при стационарных объектах управления, у

ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет» РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Лекция 5 СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО

Задача. «Нелинейное трио» В данной задаче рассматриваются «нелинейные резисторы». Напряжение U на таком резисторе пропорционально квадрату силы текущего через резистор тока (с соблюдением полярности):

4 Лекция 5 АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План Уравнения состояния электрических цепей Алгоритм формирования уравнений состояния 3 Примеры составления уравнений состояния 4 Выводы Уравнения состояния электрических

Лекция 5 Автоматические регуляторы в системах управления и их настройка Автоматические регуляторы с типовыми алгоритмами регулирования релейными, пропорциональным (П), пропорционально-интегральным (ПИ),

Вынужденные электрические колебания. Переменный ток Рассмотрим электрические колебания, возникающие в том случае, когда в цепи имеется генератор, электродвижущая сила которого изменяется периодически.

Тема: Законы переменного тока Электрическим током называется упорядоченное движение заряженных частиц или макроскопических тел Переменным называется ток, который с течением времени изменяет свою величину

Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования Издание второе, переработанное и дополненное Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия

Лекция 6 Преобразование математических моделей систем. Передаточные функции. Модели в виде сигнальных графов Чтобы изучить свойства сложных физических систем и научиться управлять ими, необходимо иметь

Уравнения динамики и статики. Линеаризация На определенном этапе разработки и исследования системы автоматического управления получают ее математическое описание описание процессов проистекающих в системе

Глава 1. Основные законы электрической цепи 1.1 Параметры электрической цепи Электрической цепью называют совокупность тел и сред, образующих замкнутые пути для протекания электрического тока. Обычно физические

Робототехника RAR1300 Sergei Pavlov TTÜ Virumaa Kolledž Управление приводами Управление движением рабочей машины или механинизма означает управление положением, скоростью и ускорением системы, которая

Основные термины и определения Общая теория управления, охватывающая как неживую, так и живую природу, является предметом науки кибернетики. Теория автоматического управления (ТАУ) это часть кибернетики.

Лекция 2 Линейные системы автоматического управления Свойства линейных систем На основе изучения многих моделей систем, можно придти к выводу, что системы, описываемые линейными дифференциальными уравнениями,

Лекция 1 Основные понятия и определения теории автоматического управления. Управление это совокупность действий, направленных на достижение поставленной цели. Регулирование частный случай управления техническими

4.1 Контрольные вопросы для самоконтроля 1 РАЗДЕЛ «Линейные непрерывные модели и характеристики систем управления» 1 Что изучает теория управления? 2 Определите понятия управление и объект управления.

Тест 1 по дисциплине «Управление техническими системами» Вариант 1 1. Каково функциональное назначение датчика в системе управлении? 1) регулировать параметры технологического процесса; 2) подавлять шумы

Тема 4.. Цепи переменного тока Вопросы темы.. Цепь переменного тока с индуктивностью.. Цепь переменного тока с индуктивностью и активным сопротивлением. 3. Цепь переменного тока с ёмкостью. 4. Цепь переменного

Приложение 4 Вынужденные электрические колебания Переменный ток Приведенные ниже теоретические сведения могут быть полезны при подготовке к лабораторным работам 6, 7, 8 в лаборатории "Электричество и магнетизм"

Синусоидальный ток «на ладони» Большая часть электрической энергии вырабатывается в виде ЭДС, изменяющейся во времени по закону гармонической (синусоидальной) функции. Источниками гармонической ЭДС служат

Лекция 1. Теория управления основные задачи, принципы, классификация В.1. Основные понятия и определения Система управления (СУ) совокупность управляющего устройства (УУ) и объекта управления (ОУ), действия

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к домашнему заданию по курсу УТС Исследование нелинейной системы автоматического регулирования ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ Исходные данные для выполнения домашнего задания приведены

Переходные процессы «на ладони». Вам уже известны методы расчета цепи, находящейся в установившемся режиме, то есть в таком, когда токи, как и падения напряжений на отдельных элементах, неизменны во времени.

Классификация уляторов по реализуемому закону улирования 1-й тип. Пропорциональный или П-улятор с одним параметром настройки. Его передаточная функция совпадает с передаточной функцией пропорционального

Лабораторная работа 23 Вынужденные колебания в колебательном контуре Цель работы: экспериментально исследовать зависимость напряжения на конденсаторе в электромагнитном последовательном колебательном контуре

Глава II Построение модели системы управления Реальная система управления состоит из определенного числа взаимосвязанных приборов и устройств, включая, конечно, объект управления, обладающих различной

ФГБОУ ВПО «Омский государственный технический университет» РАЗДЕЛ II НЕПРЕРЫВНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Лекция 4. ДИНАМИЧЕКИЕ ЗВЕНЬЯ. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ, ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ЧАСТОТНАЯ

54 Лекция 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕ- СКИХ ЦЕПЕЙ План Спектры апериодических функций и преобразование Фурье Некоторые свойства преобразования Фурье 3 Спектральный метод

И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Электромагнитные колебания Темы кодификатора ЕГЭ: свободные электромагнитные колебания, колебательный контур, вынужденные электромагнитные колебания, резонанс,

СЕМИНАР Основные понятия. Составление (вывод) дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Решение методом разделяющихся переменных. Решение линейного дифференциального уравнения

Управление высотой полета вертолета Рассмотрим задачу синтеза системы управления движением центра масс вертолета по высоте. Вертолет как объект автоматического управления представляет собой систему с несколькими

Лабораторная работа 1 1 ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ 1. Цель работы Исследовать динамические характеристики типовых звеньев систем автоматического управления (САУ), а также познакомиться

Решение систем нелинейных уравнений в частных производных с производной по времени первого порядка с коэффициентами зависящими от времени ЕГ Якубовский e-i uovi@rerru Аннотация В статье [ получено решение

Электромагнитные колебания Основные теоретические сведения Гармонические колебания в колебательном контуре Примером электрической цепи, в которой могут происходить свободные электрические колебания, служит

Лабораторная работа 8 Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре Цель работы: исследование амплитудно-частотной и фазовочастотной зависимостей напряжения на конденсаторе в последовательном

Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра общей физики Л а б о р а т о р н ы й п р а к т и к у м п о о б щ е й ф и з и к е (электричество и магнетизм) В.М.Буханов,

1 ВВЕДЕНИЕ Основные понятия и определения электротехники Рассчитать режим в заданной электрической цепи значит получить расчётным путем ток, напряжение, мощность в ее отдельных, интересуемых нас участках

1 Лабораторная работа 3 б ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУЕ Цель работы экспериментальное исследование частотной зависимости напряжения на конденсаторе при вынужденных колебаниях в колебательном

Лабораторная работа 1 1 ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ САУ 1. Цель работы Исследовать динамические характеристики типовых звеньев систем автоматического управления (САУ), а также познакомиться с основными правилами структурного

Осенний семестр учебного - года Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры

4. ПЕРЕХОДНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕМБРАНЫ 4.1 Временные характеристики динамической системы Для оценки динамических свойств системы и отдельных звеньев принято исследовать их реакцию на типовые входные воздействия,

Тема 3 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ Прямое и обратное преобразования Фурье Спектральная характеристика сигнала Амплитудно-частотный и фазо-частотный спектры Спектральные характеристики

Федеральное агентство по образованию ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра автоматизации технологических процессов В. Г. Васильев ПРОЦЕСС РЕГУЛИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ОБЪЕКТА

Выполнил: Приняла: Умаров Д. 1-14 ИКСУТП Абдурахманова М.И. Анализ устойчивости САУ Практическая пригодность систем регулирования определяется их устойчивостью и приемлемым качеством регулирования. Под

Глава 2. ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ И РЕГУЛИРОВОЧНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОПРИВОДОВ ПОСТОЯННОГО ТОКА 2.1. Механические характеристики электродвигателей и рабочих механизмов Механической характеристикой электродвигателя

Лекция 8 33 ОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 33 Описание сигналов и систем Описание сигналов Для описания детерминированных сигналов используется преобразование Фурье: it

Клюев О.В., Садовой А.В. Сохина Ю.В. Днепродзержинский государственный технический университет Украина Днепродзержинск ИДЕНТИФИКАЦИЯ КООРДИНАТ И ПАРАМЕТРОВ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ ПРИ ВЕКТОРНОМ УПРАВЛЕНИИ ПО

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭНЕРГЕТИКА 79 УДК 004.0:6.3.078 РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО ПРОДУКТА ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ КЛЮЧЕВОГО ЭЛЕМЕНТА И СИНТЕЗА КОРРЕКТИРУЮЩЕГО ЗВЕНА В. М. ЛУКАШОВ, С. Н. КУХАРЕНКО,

Работа 13 Исследование зависимостей T(l) и A(t) математического маятника Оборудование: штатив, маятник, линейка, электронный счетчик-секундомер Описание метода Графический метод является наиболее простым

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» ПРОГРАММА вступительного экзамена

ТАУ Практические занятия Задания на контрольную работу и методические указания к ее выполнению Практическое занятие АФЧХ, ЛАХ, переходные и весовые характеристики динамических звеньев типовых Большинство

Точность по ающему воздействию. Статическая точность при гармоническом входном воздействии. Самым простым методом изучения точности является использование передаточной функции по ошибке. () (). U ; (

4 Лекция 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ План 1. Введение. 2. Электрические величины и единицы их измерения. 3. Двухполюсные элементы электрических цепей. 4. Управляемые (зависимые)

Задача 1 У Васи есть два совершенно одинаковых динамометра с очень легкими пружинами и массивными корпусами. Эти динамометры не отградуированы, но оба имеют шкалы с линейной зависимостью показаний от растяжения

Оглавление Предисловие 9 Введение 11 РАЗДЕЛ1 Линейные автоматические системы управления 19 1. Составление уравнений движения элементов АСУ и методы их решения 19 1.1. Математическое описание элементов

Глава 2. Методы расчета переходных процессов. 2.1. Классический метод расчета. Теоретические сведения. В первой главе были рассмотрены методы расчета цепи, находящейся в установившемся режиме, то есть

УДК: 62-971 СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ТЕМ- ПЕРАТУРЫ ПЕЧИ ОБЖИГА КИРПИЧА студент гр.139114 Лаппо И.А. Научный руководитель Чигарев В.А. Белорусский национальный технический университет Минск,

Тема 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Понятие дискретной системы Методы описания линейных дискретных систем: разностное уравнение, передаточная функция, импульсная характеристика, частотная передаточная функция

Работа 11 ИЗУЧЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ И ЯВЛЕНИЯ РЕЗОНАНСА В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ В цепи, содержащей катушку индуктивности и конденсатор, могут возникать электрические колебания. В работе изучаются

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»

_________________________________________________________________

М. В. Бураков

Теория автоматического управления.

Учебное пособие

Санкт-Петербург

Рецензенты:

Кандидат технических наук Д. О. Якимовский (Федеральное государственное предприятие «НИИ командных приборов»). Кандидат технических наук доцент А. А. Мартынов

(Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения)

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Бураков М.В.

Д79 Теория автоматического управления: учеб. пособие. Часть 1/ М. В. Бураков;– СПб.: ГУАП, 2013. -258 с.: ил.

В учебном пособии рассматриваются основы теории автоматического управления – базового курса при подготовке инженеров в области автоматизации и управления.

Приводятся основные понятия и принципы управления, рассматриваются математические модели и методы анализа и синтеза линейных и дискретных систем управления на базе аппарата передаточных функций.

Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров и магистров по направлению 220400 «Управление в технических системах», а также студентов других специальностей, изучающих дисциплины «Теория автоматического управления» и «Основы теории управления».

1. БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Краткая история развития ТАУ

1.2. Основные понятия ТАУ

1.3. Способы описания объектов управления

1.4. Линеаризация

1.4. Критерии качества управления

1.5. Регуляторы по отклонению

Вопросы для самопроверки

2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

2.1. Преобразование Лапласа

2.2. Понятие передаточной функции

2.3. Типовые динамические звенья

2.4. Временные характеристики

2.5. Передаточная функция системы с обратной

2.6. Частные передаточные функции

2.7. Точность в установившихся режимах

2.8. Преобразование структурных схем

2.9. Сигнальные графы и формула Мейсона

2.10. Инвариантные системы

Вопросы для самопроверки

3. КОРНЕВЫЕ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ И КА-

3.1. Необходимое и достаточное условие устойчи-

3.2. Алгебраический критерий устойчивости

3.3. Структурно неустойчивые системы

3.4. Корневые показатели качества переходного

процесса

3.5. Выбор параметров регулятора

3.6. Корневой годограф

Вопросы для самопроверки

4. ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА

4.1. Преобразование Фурье

4.2. Логарифмические частотные характеристики

4.3. Частотные характеристики разомкнутой систе-

4.4. Частотные критерии устойчивости

4.4.1. Критерий устойчивости Михайлова

4.4.2. Критерий устойчивости Найквиста

4.4.3. Критерий Найквиста для систем с запазды-

4.5. Частотные критерии качества

4.5.1. Запасы устойчивости

4.5.2. Точность при гармоническом воздействии

4.6. Синтез корректирующих устройств

4.6.1. Оценка качества следящей системы по виду

ЛАЧХ разомкнутой системы

4.6.2. Коррекция с помощью дифференцирующего

устройства

4.6.3. Коррекция с помощью интегро-

дифференцирующей цепи

4.6.4. Синтез корректирующего звена общего вида

4.7. Аналоговые корректирующие звенья

4.7.1. Пассивные корректирующие звенья

4.7.2. Активные корректирующие звенья

Вопросы для самопроверки

5. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

5.1. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преоб-

разование

5.2. Реализация ЦАП и АЦП

5.3. Z - преобразование

5.4. Теорема о сдвиге

5.5. Синтез цифровых систем из непрерывных

5.6. Устойчивость дискретных систем управления

5.7. Идентификация динамического объекта

5.7.1. Задача идентификации

5.7.2. Детерминированный идентификатор

5.7.3. Построение МНК-модели по кривой разгона

Вопросы для самопроверки

6. АДАПТИВНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

6.1. Классификация адаптивных систем

6.2. Экстремальные системы управления

6.3. Адаптивное управление с эталонной моделью

Вопросы для самопроверки

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиографический список

− БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

o Краткая история развития теории автоматиче-

ского управления

Можно определить теорию автоматического управления как науку о методах определения законов управления какими-либо объектами, допускающих реализацию с помощью технических средств.

Первые автоматические устройства были разработаны человеком еще в глубокой древности, об этом позволяют судить дошедшие до нас письменные свидетельства. В работах древнегреческих и древнеримских ученых даны описания различных автоматических устройств: годометр – автоматическое устройство для измерения расстояния на основе пересчета количества оборотов колеса повозки; автоматы для открывания дверей и продажи воды в храмах; автоматические театры с кулачковыми механизмами; устройство для метания стрел с автоматической их подачей. На рубеже нашей эры арабы снабдили поплавковым регулятором уровня водяные часы (рис. 1.1).

В Средние века получила развитие «андроидная» автоматика, когда конструкторы-механики создавали устройства, подражающие отдельным действиям человека. Название «андроид» подчеркивает человекоподобность автомата. Функционировали андроиды на основе часовых механизмов.

Можно выделить несколько факторов, вызвавших необходимость разработки систем управления в XVII – XVIII:

1. развитие часового дела, вызванного потребностями бурно развивающегося мореплавания;

2. развитие мукомольной промышленности и необходимость регулирования работы водяных мельниц;

3. изобретение паровой машины.

Рис. 1.1. Конструкция водяных часов

Хотя известно, что еще в средние века применялись центробежные уравнители скорости в водяных мукомольных мельницах, первой системой управления с обратной связью считается регулятор температуры голландца Корнелиуса Дреббеля (1600 г.). В 1675 г. X. Гюйгенс встроил в часы маятниковый регулятор хода. Дени Папен в 1681 г. изобрел первый регулятор давления для паровых котлов.

Паровая машина стала первым объектом для промышленных регуляторов, так как она не обладала способностью устойчиво работать сама по себе, т.е. не обладала «самовыравни-

ваем» (рис. 1.2).

Рис.1.2. Паровая машина с регулятором

Первыми промышленными регуляторами являются автоматический поплавковый регулятор питания котла паровой машины, построенный в 1765 г. И. И. Ползуновым, и центробежный регулятор скорости паровой машины, на который в 1784 г. получил патент Дж. Уатт (рис. 1.3).

Эти первые регуляторы являлись системами прямого регулирования, т. е. для приведения в действие регулирующих органов не требовались дополнительные источники энергии – чувствительный элемент непосредственно перемещал регулирующий орган (современные системы управления являются системами непрямого регулирования, так как практически всегда сигнал ошибки недостаточен по мощности для управления регулирующим органом).

Рис. 1.3. Центробежный регулятор Уатта.

Паровая машина не случайно стала первым объектом для применения техники и теории регулирования, так как она не обладала способностью устойчиво работать сама по себе, не имела самовыравнивания.

Следует отметить также важность создания первого программного устройства управления ткацким станком от перфокарты (для воспроизведения узоров на коврах), построенного в 1808 г. Ж. Жаккаром.

Изобретение Ползунова было не случайным, поскольку в конце 18-го века металлургическая промышленность России занимала лидирующие позиции в мире. В дальнейшем российские ученые и инженеры продолжали вносить большой вклад в развитие теории автоматического управления.

Первая работа по теории регулирования появилась в 1823 г., и написана она профессором Петербургского университета Чижовым.

В 1854 г. К. И.Константинов предложил использовать разработанный им «электромагнитный регулятор скорости вращения» вместо конического маятника в паровых машинах. В нем вместо центробежного механизма используется электромагнит, регулирующий впуск пара в машину. Предложенный Константиновым регулятор обладал большей чувствительностью, чем конический маятник.

В 1866 г. А. И. Шпаковский разработал регулятор для парового котла, который отапливался с помощью форсунок. Подача топлива через форсунки была пропорциональна изменению давления пара в котле. Если давление падало, расход топлива через форсунки увеличивался, что приводило к увеличению температуры и, как следствие, к увеличению давления.

В 1856 г. в Москве во время коронации Александра III было установлено шесть мощных электродуговых ламп с автоматическим регулятором Шпаковского. Это был первый практически осуществленный опыт изготовления установки и длительной эксплуатации серии электромеханических регуляторов.

С 1869–1883 гг. В. Н. Чиколев разработал ряд электромеханических регуляторов, в том числе дифференциальный регулятор для дуговых ламп, который сыграл важную роль в истории техники регулирования.

Датой рождения теории автоматического управления (ТАУ) называют обычно 1868 г., когда вышла в свет работа Дж. Максвелла «О регуляторах», в которой дифференциальное уравнение было использовано как модель регулятора.

Большой вклад в развитие ТАУ внес русский математик и инженер И. А. Вышнеградский. В работе «Об общей теории регуляторов», опубликованной в 1876 г. он рассмотрел паровую машину и центробежный регулятор как единую динамическую систему. Вышнеградский сделал наиболее практически важные выводы по устойчивому движению систем. Он впервые ввел понятие линеаризации дифференциальных уравнений, таким образом, значительно упростив математический аппарат исследова-

Введение

В число научных дисциплин, образующих науку об управлении, входит теория автоматического управления и регулирования.

Теория автоматического управления (ТАУ) – это научная дисциплина, предметом изучения которой являются информационные процессы , протекающие в системах автоматического управления (САУ).

ТАУ выявляет общие закономерности, присущие САУ различной физической природы, а на основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения высококачественных систем управления.

При изучении процессов управления в ТАУ абстрагируются от физических и конструктивных особенностей систем и вместо реальных систем рассматривают их адекватные математические модели, отсюда – основным методом исследования в ТАУ является математическое моделирование . Кроме того, методологическую основу ТАУ образуют:

    Теория обыкновенных дифференциальных уравнений,

    Операционное исчисление,

    Гармонический анализ,

    А также векторно-матричная алгебра.

Взаимосвязь ТАУ с другими техническими науками

ТАУ вместе с теорией функционирования элементов системы управления (датчиков, регистров) образует автоматику . Автоматика является одним из разделов технической кибернетики , науки об управлении техническими объектами. В автоматике также выделяется теория информации – наука, занимающаяся сбором и обработкой информации, необходимой для управления техническими объектами и ТАУ.

Кибернетика  наука об оптимальном управлении сложными системами (технические объекты, технологические процессы, живые организмы, коллективы, предприятия и др.).

Историческая справка

Основоположником предмета теории автоматического управления является русский ученый и инженер И.А. Вышнеградский , который в 1867 г. опубликовал ра­боту о регуляторах прямого действия. В этой работе он впервые доказал, что объект регулирования и регулятор являются единой системой регулирования, и поэтому процессы, проходящие в регуляторе и объекте управления, являются взаимосвязан­ными и должны рассматриваться вместе, т.е. системно.

В это же время в том же направлении работал Максвелл . В дальнейшем выдающиеся русские ученые А.М . Ляпунов и Н.Е . Жуковский создали основы математической теории процессов, протекающих в автоматически управляемых машинах и механизмах.

Развитие современной теории автоматического управления началось в 20-30гг 20-го века с появления статей Минорского , Найквиста , Хазена . Теоретические работы сделали возможным для инженеров повседневно проектировать системы автоматического регулирования, используя классические методы.

В последнее время, когда классические методы достигли своего совершенства, исследовательские работы были направлены на разработку методов оптимизации. Работы современного ТАУ:

А.С . Понтрягин - «принцип максимума».

Р.Беллман и Р.Каллман - «Принцип оптимальности автоматизированного управления».

Основные понятия и определения тау

Системой автоматического управления  называют совокупность управляемого объекта и автоматического управляющего устройства (регулятора), взаимодействующих между собой.

САУ – это такая система, в которой управляющие функции выполняются автоматически, т.е. без участия чело­века.

АСУ (автоматизированная система управления)  это система, в которой часть управляющих функций выполняется автоматическими управляющими устройствами, а часть функций (наиболее важных и сложных) выполняется человеком.

Алгоритм функционирования устройства (системы) – это совокупность предписаний, ведущих к правильному выполнению технического процесса в устройстве (системе).

Объект управления – устройство (совокупность устройств), установка или процесс осуществляющее технический процесс и нуждающееся в специально организованных воздействиях извне для осуществления его алгоритма функционирования.

Алгоритм управления – это совокупность предписаний, определяющая характер воздействий извне на объект с целью осуществления его алгоритма функционирования.

Автоматическое управление  это процесс осуществления воздействий, соответствующих алгоритму управления.

Автоматическое управляющее устройство – устройство, осуществляющее воздействие в соответствии с алгоритмом управления.

Алгоритм функционирования УУ – это и есть алгоритм управления.

Объектом управления в ТАУ могут быть любые технические объекты, технологические процессы, а также более простые САУ.

Любой объект характеризуется рядом величин, определяющих процессы в самом объекте, влияние внешней среды на объект, влияние управляющих сигналов с регулятора.

Воздействиями называют величины, влияющие на объект извне. Воздействия бывают двух типов:

    Управляющее воздействие (управляющий сигнал, управляющая входная величина) – это воздействия, вырабатываемые управляющим устройством (или задаваемые человеком).

    Возмущения  воздействия на объект, не зависящие от системы управления. Возмущения делятся на нагрузку – это внешние воздействия, обусловленные работой системы и помехи  вредное влияние внешней среды, обусловленное побочными явлениями в объекте.

Различают три аспекта воздействия : энергетический (преобразование и передача энергии), метаболический (преобразование формы и состава вещества), информационный – заключается в том, что и при энергетическом, и при метаболическом проявлении каждое воздействие одновременно является носителем информации.

Информационный аспект наиболее важен для изучения процессов в САУ. Эти процессы заключаются в преобразовании сигналов.

Сигнал – это изменение определённой физической величины, которое отображает в соответствии с принятой условностью информацию, содержащуюся в воздействии.

Величины, характеризующие изменения в самом объекте, называются внутренними величинами или состоянием объекта .

Среди них следует выделить управляемую величину , которая характеризует состояние объекта и которую преднамеренно изменяют или поддерживают постоянной.