Сопряжение точки и окружности. Построить сопряжение – значит найти центр сопряжения и точки сопряжения (точки касания линий)

Подробности Категория: Инженерная графика

Страница 3 из 6

СОПРЯЖЕНИЕ ЛИНИЙ

При вычерчивании деталей машин и приборов, кон­туры очертаний которых состоят из прямых линий и дуг окружностей с плавными переходами от одной линии в другую, часто применяют сопряжения. Сопря­жением называется плавный переход одной линии в другую. На рис. 60 показаны примеры применения сопряжений.

Контур рычага (рис. 60а) состоит из отдельных линий, плавно переходящих одна в другую, например, в точках А , А 1 виден плавный переход от дуги окруж­ности к прямой линии, а в точках В, В 1 - от дуги одной окружности к дуге другой окружности (рис. 60, б). На рис. 60, в изображен двурогий крюк. На чертеже кон­тура крюка (рис. 60, г) в точке А виден плавный пере­ход от дуги окружности D=200 к прямой линии, а в точке В - от дуги окружности радиуса R460 к дуге ра­диуса R260.

Для точного и правильного выполнения чертежей необходимо уметь выполнять построения сопряжений, которые основаны на двух положениях.

1. Для сопряжения прямой линии и дуги необходимо, чтобы центр окружности, которой принадлежит дуга, лежал на перпендикуляре к прямой, восставленном из точки сопряжения (рис. 61, а).
2. Для сопряжения двух дуг необходимо, чтобы центры окружностей, которым принадлежат дуги, ле­жали на прямой, проходящей через точку сопряжения (рис. 61, 6).

СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ СТОРОН УГЛА ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ ЗАДАННОГО РАДИУСА

При выполнении чертежей деталей, показанных на рис. 62, б, г, е, выполняют построение сопряжения двух сторон угла дугой окружности заданного радиуса. На рис. 62, а выполнено построение сопряжения сто­рон острого угла дугой, на рис. 62, в - тупого угла, на рис. 62, д - прямого.

Сопряжение двух сторон угла (острого или тупого) дугой заданного радиуса R выполняют следующим образом (рис. 62, а и в).

Параллельно сторонам угла на расстоянии, равном радиусу дуги R, проводят две вспомогательные прямые линии. Точка пересечения этих прямых (точка О) будет центром дуги радиуса Я, т. е. центром сопряже­ния. Из центра О описывают дугу, плавно переходя­щую в прямые - стороны угла. Дугу заканчивают в точках сопряжения n и n 1 которые являются Основаниями перпендикуляров, опущенных из центра О на сто­роны угла.

При построении сопряжения сторон прямого угла центр дуги сопряжения проще находить с помощью циркуля (рис. 62, д). Из вершины угла А проводят дугу радиусом R, равным радиусу сопряжения. На сторонах угла получают точки сопряжения n и n 1 . Из этих точек, как из центров, проводят дуги радиусом R до взаим­ного пересечения в точке О, являющейся центром со­пряжения. Из центра О описывают дугу сопряжения.

СОПРЯЖЕНИЕ ПРЯМОЙ С ДУГОЙ ОКРУЖНОСТИ

Сопряжение прямой с дугой окружности может быть выполнено при помощи дуги с внутренним касанием (рис. 63, в) и дуги с внешним касанием (рис. 63, а).

На рис. 63, а показано сопряжение дуги окружности радиусом R и прямой линии А В дугой окружности радиуса r с внешним касанием. Для построения такого сопряжения проводят окружность радиуса R и прямую АВ. Параллельно заданной прямой на расстоянии, рав­ном радиусу r (радиус сопрягающей дуги), проводят прямую ab . Из центра О проводят дугу окружности

радиусом, равным сумме радиусов и r, до пересече­ния ее с прямой ab в точке О 1 Точка О 1 является цент­ром дуги сопряжения.

Точку сопряжения с 00 1 с дугой окружности радиуса R . Точка сопряжения C 1 является основанием перпендикуляра, опущенного из центра О 1 на данную прямую При помощи ана­логичных построений могут быть найдены точки 0 2 ,

c 2 , c 3.

На рис. 63, б показан кронштейн, при вычерчивании контура которого необходимо выполнить построения, описанные выше.

На рис. 63, в выполнено сопряжение дуги радиуса R с прямой А В дугой радиуса r с внутренним касанием. Центр дуги сопряжения О 1 находится на пересечении вспомогательной прямой, проведенной параллельно данной прямой на расстоянии r, с дугой вспомогатель­ной окружности, описанной из центра О радиусом, рав­ным разности R - r . Точка сопряжения является основанием перпендикуляра, опущенного из точки О 1 на данную прямую. Точку сопряжения с находят на пересечении прямой ОО 1 с сопрягаемой дугой. Такое сопряжение выполняют, например, при вычерчивании контура маховика, показанного на рис. 63, г.

СОПРЯЖЕНИЕ ДУГИ С ДУГОЙ

Сопряжение двух дуг окружностей может быть вну­тренним, внешним и смешанным.

При внутреннем сопряжении центры O и O 1 сопря­гаемых дуг находятся внутри сопрягающей дуги ради­уса R (рис. 64, б).

При внешнем сопряжении центры и сопрягае­мых дуг радиусов R 1 и R 2 находятся вне сопрягающей дуги радиуса R (рис. 64, в).

При смешанном сопряжении центр О, одной из сопрягаемых дуг лежит внутри сопрягающей дуги

радиуса R , а центр О другой сопрягаемой дуги вне ее (рис. 65, а).

На рис. 64, а показана деталь (серьга), при вычерчи­вании которой необходимо построение внутреннего и внешнего сопряжения.

Построение внутреннего сопряжения.

а) радиусы сопрягаемых окружностей R 1 и R 2

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения s 1 и s

в) провести дугу сопряжения.

Построение сопряжения показано на рис. 64, б. По заданным расстояниям между центрами 1 1 и l 2 на чер­теже намечают центры О и O 1 из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О 1 про­водят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 2 , а из центра О - радиусом, равным разности радиусов сопрягающей дуги R и сопрягаемой R 1 0 2 которая и будет искомым центром сопрягающей дуги.

Для нахождения точек сопряжения точку 0 2 соеди­няют с точками О и О 1 прямыми линиями. Точки пере­сечения продолжения прямых 0 2 0 и 0 2 0 с сопрягае­мыми дугами являются искомыми точками сопряжения (точки S и s 1).

Радиусом R из центра О г проводят сопрягающую дугу между точками сопряжения s и s 1

Построение внешнего сопряжения.

а) радиусы R 1 и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;

б) расстояния и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а) определить положение центра 0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения и s 1 ;

в) провести дугу сопряжения.

Построение внешнего сопряжения показано на рис. 64, в. По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже находят точки О и О 1 из которых описывают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 , и сопряга­ющей R , а из центра О 1 - радиусом, равным сумме

радиусов сопрягаемой дуги R 2 и сопрягающей R . Вспо­могательные дуги пересекутся в точке O 2 , которая будет искомым центром сопрягающей дуги Для нахождения точек сопряжения центры дуг сое-

диняют прямыми линиями 00 2 и 010 2 . Эти две пря­мые пересекают сопрягаемые дуги в точках сопряже­ния S и s1

Из центра 0 2 радиусом R проводят сопрягающую ду­гу, ограничивая ее точками сопряжения и

Построение смешанного сопряжения. Пример сме­шанного сопряжения приведен на рис. 65, и где изображены кронштейн и его чертеж.

а) радиусы R x и R 2 сопрягаемых дуг окружностей;

б) расстояния l 1 и l 2 между центрами этих дуг;

в) радиус R сопрягающей дуги.

Требуется:

а) определить положение центра 0 2 сопрягающей дуги;

б) найти точки сопряжения s и s 1

в) провести дугу сопряжения.

По заданным расстояниям между центрами l 1 и l 2 на чертеже намечают центры 0 и 0 1 , из которых описы­вают сопрягаемые дуги радиусов R 1 и R 2 . Из центра О проводят вспомогательную дугу окружности радиусом, равным сумме радиусов сопрягаемой дуги R 1 и сопрягающей R , а из центра 0 1 - радиусом, равным разности радиусов R и R 2 . Вспомогательные дуги пересекутся в точке 0 2 , которая будет искомым центром сопряга­ющей дуги.

Соединив точки О и 0 2 прямой, получают точку сопряжения соединив точки О 1 и 0 2 , находят точку сопряжения s . Из центра 0 2 проводят дугу сопряжения от s до s 1

При вычерчивании контура детали необходимо разо­браться, где имеются плавные переходы, и предста­вить себе, где надо выполнить те или иные виды сопря­жения.

Для приобретения навыков построения сопряжения выполняют упражнения по вычерчиванию контуров сложных деталей. Перед упражнением необходимо просмотреть задание, наметить порядок построения сопряжений и только после этого приступить к выпол­нению построений.

На рис. 66, а изображена деталь (кронштейн), а на рис. 66, б, в, г показана последовательность выполне­ния контурного очертания этой детали с построением различных видов сопряжений.

Сопряжение двух параллельных прямых

Заданы две параллельные прямые и на одной из них точка сопряжения М (рис. 2.19, а ). Требуется построить сопряжение.

• 1) находят центр сопряжения и радиус дуги (рис. 2.19, б). Для этого из точки М восставляют перпендикуляр до пересечения с прямой в точке N. Отрезок MN делят пополам (см. рис. 2.7);
• 2) из точки О – центра сопряжения радиусом ОМ = ON описывают дугу от точек сопряжения М и N (рис. 2.19, в ).

Рис. 2.19.

Даны окружность с центром О и точка А. Требуется провести из точки А касательную к окружности.

1. Точку А соединяют прямой с заданным центром О окружности.

Строят вспомогательную окружность диаметром, равным ОА (рис. 2.20, а ). Чтобы найти центр О 1, делят отрезок ОА пополам (см. рис. 2.7).

2. Точки M и N пересечения вспомогательной окружности с заданной – искомые точки касания. Точку А соединяют прямыми с точками М или N (рис. 2.20, б ). Прямая AM будет перпендикулярна прямой ОМ, так как угол АМО опирается на диаметр.

Рис. 2.20.

Проведение прямой, касательной к двум окружностям

Даны две окружности радиусов R и R 1. Требуется построить прямую, касательную к ним.

Различают два случая касания: внешнее (рис. 2.21, б ) и внутреннее (рис. 2.21, в ).

При внешнем касании построение выполняют следующим образом:

• 1) из центра О проводят вспомогательную окружность радиусом, равным разности радиусов заданных окружностей, т.е. R – R 1 (рис. 2.21, а ). К этой окружности из центра О1 проводят касательную прямую Ο 1Ν. Построение касательной показано на рис. 2.20;
• 2) радиус, проведенный из точки О в точку Ν, продолжают до пересечения в точке М с заданной окружностью радиуса R. Параллельно радиусу ОМ проводят радиус Ο 1Ρ меньшей окружности. Прямая, соединяющая точки сопряжений М и Р, – касательная к заданным окружностям (рис. 2.21, б ).

Рис. 2.21.

При внутреннем касании построение проводят аналогично, но вспомогательную окружность проводят радиусом, равным сумме радиусов R + R 1 (рис. 2.21, в ). Затем из центра О 1 проводят касательную к вспомогательной окружности (см. рис. 2.20). Точку N соединяют радиусом с центром О. Параллельно радиусу ON проводят радиус O1Р меньшей окружности. Искомая касательная проходит через точки сопряжений М и Р.

Сопряжение дуги и прямой дугой заданного радиуса

Даны дуга окружности радиуса R и прямая. Требуется соединить их дугой радиуса R 1.

• 1. Находят центр сопряжения (рис. 2.22, а ), который должен находиться на расстоянии R 1 от дуги и от прямой. Поэтому проводят вспомогательную прямую, параллельную заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу сопрягающей дуги R1) (рис. 2.22, а ). Раствором циркуля, равным сумме заданных радиусов R + R 1 описывают из центра О дугу до пересечения со вспомогательной прямой. Полученная точка О1 – центр сопряжения.
• 2. По общему правилу находят точки сопряжения (рис. 2.22, б ): соединяют прямой центры сопрягаемых дуг O1 и О и опускают из центра сопряжения Ο 1 перпендикуляр на заданную прямую.
• 3. Из центра сопряжения Οχ между точками сопряжения Μ и Ν проводят дугу, радиус которой R 1 (рис. 2.22, б ).

Рис. 2.22.

Сопряжение двух дуг дугой заданного радиуса

Даны две дуги, радиусы которых R 1 и R 2. Требуется построить сопряжение дугой, радиус которой задан.

Различают три случая касания: внешнее (рис. 2.23, а, б ), внутреннее (рис. 2.23, в ) и смешанное (см. рис. 2.25). Во всех случаях центры сопряжений должны быть расположены от заданных дуг на расстоянии радиуса дуги сопряжения.

Рис. 2.23.

Построение выполняют следующим образом:

Для внешнего касания:

• 1) из центров Ο 1 и О2 раствором циркуля, равным сумме радиусов заданной и сопрягающей дуг, проводят вспомогательные дуги (рис. 2.23, а ); радиус дуги, проведенной из центра Ο 1, равен R 1 + R 3; а радиус дуги, проведенной из центра O2, равен R 2 + R 3. На пересечении вспомогательных дуг расположен центр сопряжения – точка O3;
• 2) соединив прямыми точку Ο1 с точкой 03 и точку O2 с точкой O3, находят точки сопряжения M и N (рис. 2.23, б );
• 3) из точки 03 раствором циркуля, равным R 3, между точками Μ и Ν описывают сопрягающую дугу.

Для внутреннего касания выполняют те же построения, но радиусы дуг берут равными разности радиусов заданной и сопрягающей дуг, т.е. R 4 – R 1 и R 4 – R 2. Точки сопряжения Р и К лежат на продолжении линий, соединяющих точку O4 с точками O1 и O2 (рис. 2.23, в ).

Для смешанного (внешнего и внутреннего ) касания (1-й случай):

• 1) раствором циркуля, равным сумме радиусов R 1 и R 3, из точки O2, как из центра, проводят дугу (рис. 2.24, а);
• 2) раствором циркуля, равным разности радиусов R 2 и R 3, из точки O2 проводят вторую дугу, пересекающуюся с первой в точке O3 (рис. 2.24, б );
• 3) из точки О1 проводят прямую линию до точки O3, из второго центра (точка O2) проводят прямую через точку O3 до пересечения с дугой в точке М (рис. 2.24, в).

Точка O3 является центром сопряжения, точки М и N – точками сопряжения;

4) поставив ножку циркуля в точку O3, радиусом R 3 проводят дугу между точками сопряжения Μ и Ν (рис. 2.24, г ).

Рис. 2.24.

Для смешанного касания (2-й случай):

• 1) две сопрягаемые дуги окружностей радиусов R 1 и R 2 (рис. 2.25);
• 2) расстояние между центрами О i и O2 этих двух дуг;
• 3) радиус R 3 сопрягающей дуги;

требуется:

• 1) определить положение центра O3 сопрягающей дуги;
• 2) найти на сопрягаемых дугах точки сопряжения;
• 3) провести дугу сопряжения

Последовательность построения

Откладывают заданные расстояния между центрами Ο 1 и O2. Из центра О 1 проводят вспомогательную дугу радиусом равным сумме радиусов сопрягаемой дуги радиуса R 1 и сопрягающей дуги радиуса R 3, а из центра O2 проводят вторую вспомогательную дугу радиусом, равным разности радиусов R 3 и R 2, до пересечения с первой вспомогательной дугой в точке O3, которая будет искомым центром сопрягающей дуги (рис. 2.25).

Рис. 2.25.

Точки сопряжения находят по общему правилу, соединяя прямыми центры дуг O3 и O1, O 3 и O2. На пересечении этих прямых с дугами соответствующих окружностей находят точки М и N.

Лекальные кривые

В технике встречаются детали, поверхности которых ограничены плоскими кривыми: эллипсом, эвольвентной окружностью, спиралью Архимеда и др. Такие кривые линии нельзя вычертить циркулем.

Их строят по точкам, которые соединяют плавными линиями с помощью лекал. Отсюда название лекальные кривые.

Приведена на рис. 2.26. Каждая точка прямой, если ее катить без скольжения по окружности, описывает эвольвенту.

Рис. 2.26.

Рабочие поверхности зубьев большинства зубчатых колес имеют эвольвентное зацепление (рис. 2.27).

Рис. 2.27.

Спираль Архимеда изображена на рис. 2.28. Это плоская кривая, которую описывает точка, равномерно движущаяся от центра О по вращающемуся радиусу.

Рис. 2.28.

По спирали Архимеда нарезают канавку, в которую входят выступы кулачков самоцентрирующего трехкулачкового патрона токарного станка (рис. 2.29). При вращении конической шестерни, на обратной стороне которой нарезана спиральная канавка, кулачки сжимаются.

При выполнении этих (и других) лекальных кривых на чертеже можно для облегчения работы воспользоваться справочником.

Размеры эллипса определяются величиной его большой АВ и малой CD осей (рис. 2.30). Описывают две концентрические окружности. Диаметр большей равен длине эллипса (большой оси АВ ), диаметр меньшей – ширине эллипса (малой оси CD ). Делят большую окружность на равные части, например на 12. Точки деления соединяют прямыми, проходящими через центр окружностей. Из точек пересечения прямых с окружностями проводят линии, параллельные осям эллипса, как показано на рисунке. При взаимном пересечении этих линий получают точки, принадлежащие эллипсу, которые, соединив предварительно от руки тонкой плавной кривой, обводят с помощью лекала.

Рис. 2.29.

Рис. 2.30.

Практическое применение геометрических построений

Дано задание: выполнить чертеж ключа, показанного на рис. 2.31. Как это сделать?

Прежде чем начинать чертить, проводят анализ графического состава изображения, чтобы установить, какие случаи геометрических построений необходимо применить. На рис. 2.31 показаны эти построения.

Рис. 2.31.

Чтобы вычертить ключ, нужно провести взаимно перпендикулярные прямые, описать окружности, построить шестиугольники, соединив верхние и нижние их вершины прямыми, выполнить сопряжение дуг и прямых дугами заданного радиуса.

Какова последовательность этой работы?

Вначале проводят те линии, положение которых определено заданными размерами и не требует дополнительных построений (рис. 2.32, а ), т.е. проводят осевые и центровые линии, описывают по заданным размерам четыре окружности и соединяют концы вертикальных диаметров меньших окружностей прямыми линиями.

Рис. 2.32.

Дальнейшая работа по выполнению чертежа требует применения изложенных в п. 2.2 и 2.3 геометрических построений.

В данном случае нужно построить шестиугольники и выполнить сопряжение дуг с прямыми (рис. 2.32, б ). Это и будет второй этап работы.

Сопряжением называется плавный переход от одной линии к другой. Плавный переход может быть выполнен как с помощью циркульных линий
(дуг окружностей), так и с помощью лекальных кривых (дуг эллипса, параболы или гиперболы). Мы будем рассматривать только случаи сопряжений с помощью дуг окружностей. Из всего многообразия сопряжений различных линий можно выделить такие основные виды сопряжений: сопряжение двух различно расположенных прямых линий с помощью дуги окружности, сопряжение прямой линии с дугой окружности, построение общей касательной к двум окружностям, сопряжение двух окружностей третьей. Любой вид сопряжений следует выполнять в такой последовательности:

– находят центр дуги сопряжения,

– находят точки сопряжения,

– заданным радиусом проводят дугу сопряжения.

Различные виды сопряжений приведены в таблице 2:

Таблица 2

Графическое построение сопряжений	Краткое объяснение к построению
Сопряжение пересекающихся прямых дугой заданного радиуса
	Провести прямые, параллельные сторонам угла на расстоянии R. Из точки О, взаимного пересечения этих прямых, опустив перпендикуляры на стороны угла, получим точки сопряжения 1 и 2. Радиусом R провести дугу сопряжения между точками 1 и 2.
Сопряжение окружности и прямой с помощью дуги заданного радиуса
	На расстоянии R провести прямую, параллельную заданной прямой, а из центра О 1 радиусом R+R 1 – дугу окружности. Точка О – центр дуги сопряжения. Точку 2 получим на перпендикуляре, опущенном из точки О на заданную прямую, а точку 1- на пересечении прямой ОО 1 и окружности радиуса R.

Продолжение таблицы 2

Сопряжение дуг двух окружностей прямой линией
	Из точки О провести вспомогательную окружность радиусом R-R 1 . Отрезок ОО 1 разделить пополам и из точки О 2 провести окружность радиусом 0,5 ОО 1 .Эта окружность пересекает вспомогательную в точке К 0 . Соединив точку К 0 с точкой О 1 получим направление общей касательной. Точки касания К и К 1 находим на пересечении перпендикуляров из точек О и О 1 с заданными окружностями.
Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса (внешнее сопряжение)
	Из центров О 1 и О 2 провести дуги радиусов R+R 1 и R+R 2. При пересечении этих дуг получаем точку О – центр дуги сопряжения. Соединить точки О 1 и О 2 с точкой О. Точки К и К 1 являются точками сопряжения. Между точками К и К 1 провести дугу сопряжения радиусом R.

Продолжение таблицы 2

Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса (внутреннее сопряжение)
	Из центров О 1 и О 2 провести дуги радиусов R-R 1 и R-R 2 . При пересечении этих дуг получаем точку О – центр дуги сопряжения. Соединить точки О 1 и О 2 с точкой О до пересечения с заданными окружностями. Точки К и К 1 – точки сопряжения. Между точками К и К 1 радиусом R проводим дугу сопряжения.
Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса (смешанное сопряжение)
	Из центров О 1 и О 2 провести дуги радиусов R-R 1 и R+R 2 . При пересечении этих дуг получаем точку О – центр дуги сопряжения. Соединяем точки О 1 и О 2 с точкой О до пересечения с заданными окружностями. Точки 1 и 2 – точки сопряжения. Между точками 1 и 2 радиусом R проводим дугу сопряжения.

>>Черчение: Сопряжения

Плавный переход одной линии в другую называется сопряжением . Общая для сопрягаемых линий точка называется точкой сопряжения, или точкой перехода. Для построения сопряжений надо найти центр сопряжения и точки сопряжений. Рассмотрим различные типы сопряжений. Сопряжение прямого угла.

Пусть необходимо выполнить сопряжение прямого угла радиусом сопряжения, равным отрезку АВ (Н=АВ). Найдем точки сопряжения. Для этого поставим ножку циркуля в вершину угла и раствором циркуля, равным отрезку АВ, сделаем засечки на сторонах угла. Полученные точки а и Ь являются точками сопряжения. Найдем центр сопряжения - точку, равноудаленную от сторон угла. Раствором циркуля, равным радиусу сопряжения, из точек а и Ь проведем внутри угла две дуги до пересечения друг с другом. Полученная точка О - центр сопряжения. Из центра сопряжения описываем дугу заданного радиуса от точки а до точки Ь. Обводим вначале дугу, а затем прямые линии (рис. 70).

Сопряжение острого и тупого углов. Чтобы построить сопряжение острого угла, возьмем раствор циркуля, равный заданному радиусу Н=АВ. Поочередно поставим ножку циркуля в две произвольные точки на каждой из сторон острого угла. Проведем четыре дуги внутри угла, как показано на рис. 71, а.

К ним проведем две касательные до пересечения в точке О - центре сопряжения (рис. 71, б). Из центра сопряжения опустим перпендикуляры на стороны угла.

Полученные точки а и Ь будут точками сопряжения (рис.71, б). Поставив ножку циркуля в центр сопряжения (О), раствором циркуля, равным заданному радиусу сопряжения (Н=АВ), проведем дугу сопряжения.

Аналогично построению сопряжения острого угла строят сопряжение (скругление) тупого угла.Сопряжение двух параллельных прямых.Заданы две параллельные прямые и точка <1, лежащая на одной из них (рис.72). Рассмотрим последовательность построения сопряжения двух прямых. В точке (1 восставим перпендикуляр до пересечения его с другой прямой. Точки d и е являются точками сопряжения. Разделив отрезок de пополам, найдем центр сопряжения. Из него радиусом сопряжения проводим дугу, сопрягающую прямые.

Сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса

Существует несколько типов сопряжения дуг двух окружностей дугой заданного радиуса: внешнее, внутреннее и смешанное.Рассмотрим пример внешнего сопряжения дуг двух окружностей дугой заданного радиуса. Заданы радиусы R 1 и R2 дуг двух окружностей (длины радиусов показаны отрезками прямых). Необходимо построить их сопряжение третьей дугой радиуса R (рис. 73, а). Для нахождения центра сопряжения проводим две вспомогательные дуги: одну радиусом О 1 О = R 1 + R, а другую O 2O = R 2 + R. Точка пересечения вспомогательных дуг является центром сопряжения.

Точки сопряжения K лежат в пересечении прямых О 1 О и O 2O с дугами заданных окружностей. Из центра сопряжения радиусом сопряжения проводим дугу, соединяя точки сопряжений. При обводке построений вначале изображают дугу сопряжения, а затем дуги сопрягаемых окружностей (рис. 73, б).

Внутреннее сопряжение дуг двух окружностей дугой заданного радиуса.При внутреннем сопряжении сопрягаемые дуги окружностей находятся внутри дуги сопряжения (рис. 74). Даны две дуги окружностей с центром O 1 и O 2 , радиусы которых соответственно равны R 1 и R 2 . Необходимо построить сопряжение этих дуг третьей дугой радиуса R. Находим центр сопряжения. Для этого из центра O 1 радиусом, равным R-R 1 и из центра O 2 радиусом, равным R-R 2 , описывают вспомогательные дуги до их взаимного пересечения в точке О. Точка О будет центром сопрягающей дуги радиуса R. Точки сопряжения К лежат на линиях ОО 1 и OO 2 , соединяющих центры дуг окружностей с центром сопряжения.

Вывод . Определяя величину радиусов вспомогательных дуг, следует:
а) при внешнем сопряжении брать сумму радиусов заданных дуг и радиуса сопряжения, т. е. R 1 + R; R 2 + R (рис. 73);
б) при внутреннем сопряжении нужно использовать разность радиуса сопряжения R и радиусов заданных дуг окружностей, т. е. R-R 1 и R-R 2 (рис. 74).

Вопросы и задания
1. Что называется сопряжением?
2. Какая точка называется центром сопряжения?
3. Какие точки являются точками сопряжения?

Графическая работа
По наглядному изображению детали выполните ее чертеж, применяя правила построения сопряжений (рис. 75).

Н.А.Гордеенко, В.В.Степакова - Черчение.,9 класс
Отослано читателями из интернет-сайтов

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

В общем случае построение сопряжения окружности m радиуса R 1 и прямой l окружностью радиуса R (рис. 30, а, б) производится следующим образом:

– на расстоянии R параллельно l проводим l’ (ГМ к прямой);

– с центром в точке О 1 проводим m’ (ГМ к окружности), радиусом равным сумме R и R 1 или радиусом равным разности R и R 1 ;

– точка О пересечения l’ и m’ является центром сопряжения;

– опускаем из О перпендикуляр на прямую l. Получаем точку сопряжения А;

– через О и О 1 проводим прямую и отмечаем точку сопряжения В пересечения ее с окружностью m;

– с центром в точке О радиусом R между точками А и В проводим дугу сопряжения.

Рис. 30. Построение сопряжения прямой линии с окружностью

Сопряжение двух окружностей

При построении внешнего сопряжения двух окружностей m 1 и m 2 дугой заданного радиуса R (рис.31) центр сопрягающей дуги – точка О – определяется пересечением двух геометрических мест m 1 ’ и m 2 ’ – вспомогательных окружностей радиусов R+R 1 и R+R 2 , проведенных соответственно из центров сопрягаемых окружностей, т.е. из точек О 1 и О 2 . Точки сопряжения А и В определяются как точки пересечения заданных окружностей с прямыми ОО 1 и ОО 2 .

Внутреннее сопряжение дуг радиусов R 1 и R 2 дугой радиуса R показано на рис. 32.

Рис. 31. Внешнее сопряжение двух окружностей

Рис. 32. Внутреннее сопряжение двух окружностей

Для определения центра О дуги сопряжения проводим из точек О 1 и О 2 вспомогательные дуги m 1 ’ и m 2 ’ – два геометрических места – радиусами R–R 1 и R–R 2 . Точка пересечения этих дуг является центром сопряжения. Из точки О через точки О 1 и О 2 проводим прямые до пересечения с окружностями m 1 и m 2 и получаем точки сопряжения А и В. Между этими точками и проводится дуга окружности сопряжения радиуса R с центром в точке О.

При смешанном сопряжении (рис. 33) центр сопряжения О определяется в пересечении двух геометрических мест – вспомогательных окружностей радиусов R+R 1 и R–R 2 , проведенных соответственно из центров О 1 и О 2 . Точки сопряжения А и В лежат на пересечении линий центров ОО 1 и ОО 2 с дугами заданных окружностей.

Рис. 33. Построение смешанного сопряжения двух окружностей

Построение касательных прямых

Построение касательных к окружностям основано на том, что касательная прямая перпендикулярна к радиусу окружности, проведенному в точку касания.

Построение касательной к окружности из точки А, лежащей вне окружности (рис. 34). Отрезок ОА, соединяющий данную точку А с центром О окружности, делим пополам и из полученной точки О 1 , как из центра, описываем вспомогательную окружность радиусом О 1 А. Вспомогательная окружность пересекает заданную в точке В, являющейся точкой касания. Прямая АВ будет касательной к окружности, т.к. угол АВО прямой, как вписанный во вспомогательную окружность и опирающийся на ее диаметр.

Построение касательной к двум окружностям. Касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон от касательной.

Рис. 34. Построение касательной к окружности

Для построения внешней касательной к окружностям радиусов R 1 и R 2 (рис. 35) поступаем следующим образом:

1). из центра О 2 большей окружности проводим вспомогательную окружность радиусом R 2 –R 1 ;

2). отрезок О 1 О 2 делим пополам;

3). с центром О 3 проводим вспомогательную окружность радиусом О 3 О 2 ;

4). отмечаем точки пересечения двух вспомогательных окружностей - М и N;

5). через точку О 2 и полученные точки проводим прямые до пересечения с окружностью радиуса R 2 . Получаем точки В и D;

6). из центра О 1 проводим прямые О 1 А и О 1 С соответственно параллельные О 2 В и О 2 D до пересечения с окружностью радиуса R 1 в точках А и С.

Прямые АВ и СD – искомые внешние касательные к двум окружностям.

Рис. 35. Построение внешней касательной к двум окружностям

Построение внутренней касательной к двум окружностям радиусов R 1 и R 2 (рис. 36).

Рис. 36. Построение внутренней касательной к двум окружностям

Из центра одной из окружностей, например из О 1 , проводим вспомогательную окружность радиусом R 1 + R 2 . Делим отрезок О 1 О 2 пополам и из полученной точки О 3 проводим вторую вспомогательную окружность радиусом О 1 О 3 . Точки М и N пересечения вспомогательных окружностей соединяем прямыми с центром О 1 и на их пересечении с окружностью радиуса R 1 получаем точки касания А и C. Из точки О 2 проводим прямую, параллельную О 1 А и получаем точку касания В на окружности R 2 . Аналогично строится точка D. Прямые АВ и СD – искомые внутренние касательные к двум окружностям.